Convolutional Neural Networks on Graphs with Fast Localized Spectral Filtering

1、主要贡献

• 1、谱方法的卷积公式。一种基于谱方法的CNN的形式化表述，基于GSP

• 2、严格的局部化的filters。局部化就是定义了一个参数K，K代表以一个节点为中心的K次跳跃（也就是距离为K）。

• 3、小的计算复杂度。复杂度是和K以及边数成正比。因为大部分现实生活中的图是高度稀疏的，那么就是边数远远低于点数的平方，即 边 = k*点数。k可以看做是一个点的k最近邻。这也就是说复杂度是和输入数据的大小。另外，这个方法避免计算傅里叶因子（需要计算和储存傅里叶因子）。这个方法只用储存一个拉普拉斯矩阵，这是一个稀疏矩阵，只有边数个非零值。

• 4、高效的pooling。通过构建一个二叉树进行pooling。

2、算法介绍

实现图上的CNN需要满足一下一点要求：

• (1)设计卷积核
• (2)相似点聚集
• (3)pooling操作

2.1 学习局部化谱filters

k阶近似与ChebNet

切比雪夫多项式及其应用
http://www.docin.com/p-524643989.html
http://bookshelf.docin.com/p-1702466525.html
https://www.ixueshu.com/document/2c40f2ae055f2240318947a18e7f9386.html
https://wenku.baidu.com/view/c9566591f56527d3240c844769eae009591ba2ce.html
https://wenku.baidu.com/view/544dab7502768e9951e73842.html
ChebNet的作者指出原始的频谱图卷积有两大缺点：
① 图卷积核是全局的且参数量大 (卷积核大小与输入信号相同，参数量与图节点数相同)
② 图卷积运算的复杂度高 (运算过程涉及高计算复杂度的特征分解)

首先，为了克服卷积核过“大”的缺点，ChebNet指出可以使用多项式展开近似计算图卷积，即对参数化的频率响应函数进行多项式近似：

其中k代表多项式的最高阶数，这一步近似将卷积核的参数数量从n个减少到了$k$个，使卷积核变“小”了，变得“局部”了。但是整个图卷积运算的复杂度还是$O(n^2)$，因为输入信号要与傅里叶基$U$做矩阵乘法。为了进一步降低计算复杂度，作者使用迭代定义的切比雪夫多项式($ChebShevPolynomial$)作近似并证明可以将计算复杂度降低至$O(K|E|)$，其中$K$为多项式的阶数，$E$为图中边的数量。作者将基于切比雪夫多项式定义的卷积核称为切比雪夫卷积核，对应的卷积运算则称为切比雪夫卷积，他们的公式定义如下：

式中的${\lambda }_{max}$​​表示拉普拉斯矩阵的最大特征值，添加’是为了表明这是近似的参数。从替换和化简后的卷积运算式可以发现，切比雪夫多项式矩阵的运算是固定，可以在预处理阶段完成，且拉普拉斯矩阵一般是稀疏的，可以使用稀疏张量乘法加速，因此整个图卷积的计算复杂度大大降低。除了定义切比雪夫图卷积外，ChebNet的作者还提出了图池化层.
推导：





幂迭代法求特征值和特征向量


学习过滤器：通过梯度下降即可完成：

应用举例


根据切比雪夫多项式进行求解

2.2 图池化

图粗化

传统图池化方法：谱聚类
本文使用方法：Graclus多级聚类算法
Weighted graph cuts without eigenvectors a multilevel approach

另外：
Algebraic multigrid techniques on graphs and the Kron reduction are two methods worth exploring in future works

快速pooling

通过上述方法得到更粗糙的图，然后对节点重排序，然后构建一个二叉树。

每级粗化我们可以得到一个粗化图$（G_0,G_1,G_2,G_3,G_4）$，将该粗化图添加上一些辅助节点（上图右部分上,蓝色圆），使粗化图中每个顶点都有$2$个孩子，从而构成一个二叉树，将二叉树摊平构成一维信号（上图右部分下），然后对该信号采样即可表示为一次图$pooling$。

• 让我们对生活在$G_0$上的信号$x\in R^8$进行最大大小为$4$的最大池化（或两个大小为$2$的池化）,最细图作为输入给出。 请注意，它最初拥有 $n_0=|V_0|=8$个顶点，任意排序。
• 对于大小为$4$的池，需要对大小$2$进行两次粗化：让$Graclus$给出大小为$n_1=|V_1|$的$G1=5$则$G_2$的大小为$n_2=|V_2|=3$，最粗糙的图。
• 因此，将大小设置为$n_2=3，n_1=6，n_0=12$，并将假节点（蓝色）添加到$V_1$（$1$个节点）和$V_0$（$4$个节点）以与正弦（橙色）配对，以便每个节点具有 正好有两个孩子。
• 对$V_2$中的节点进行任意排序，并因此对$V_1$和$V_0$中的节点进行排序。 此时，$V_0$中的顶点排列允许在$x\in R^{12}$上进行规则的$1D$合并，使得 z = [ m a x （ x 0 ， x 1 ） ， m a x （ x 4 ， x 5 ， x 6 ） ， m a x （ x 8 ， x