《A subjective and objective integrated approach to determine attribute weights》

大神作者

题目：一种确定属性权重的主客观综合方法

摘要：针对多属性决策问题，提出了一种确定属性权重的综合方法。该方法利用了决策者(DM)和目标信息形成一个双目标规划模型。因此，生成的属性权重和备选方案的排名既考虑了决策者的主观考虑，又考虑了客观信息。

1、 介绍

多属性决策(MADM)是指在与多个属性关联的替代方案中进行选择的问题。

代表一组离散的m个可能的备选方案。

是一组n属性。这些属性是客观的，并且是额外独立的。

是具有属性权重的向量，

是决策矩阵，关于属性的被选方案的结果。,每个 是介于0和1之间的目标值。它允许每个属性具有相同的测量范围。这是通过使用以下公式将矩阵A中的每个元素归一化为矩阵B中的相应元素来实现的:

简单的加性加权法是最著名和应用最广泛的MADM方法之一。此方法中备选方案的总体值可以表示为

通过主观方法确定的权重反映了DM的主观判断或直觉，但是由于他/她缺乏知识或经验，DM可能会影响基于权重的分析结果或替代方案的排名。客观方法通常通过利用数学模型来确定权重，但是它们忽略了DM形成中的主观判断。所以仅从主观或客观的方法来确定权重是不科学的。

本文提出了一种求解MADM问题权重的综合方法，其中对属性的两两比较矩阵由DM给出。它是通过解决一个问题来确定权重。数学规划模型，重新考虑决策的主观因素和客观信息。

2、确定权重的方法

2.1 主观方法

加权最小二乘法求权。该方法涉及一组联立线性代数方程组的求解，在概念上易于理解。下面简要介绍此方法。

在确定权值时，假设DM给出了属性集P上的他/她的两两比较矩阵D(即Satty矩阵)，矩阵：

其中表示属性相对于属性的相对权重。

考虑矩阵D的元素，最好确定权重，以便计算。

得到权值通过求解约束优化问题：

其中,,矩阵中的元素是:

(7a)和(7b)是一个非线性规划模型。为了使最小化，构造了拉格朗日函数:

其中是拉格朗日乘数，求解上式可得：

2.2 客观方法

通过求解数学规划模型获得权重。下面简要介绍这个方法。

规范化决策矩阵可转换为加权标准化决策矩阵。,:

把定义为理想方案，，其中：

其中。

每一种方案与理想方案之间的距离可以用平方距离（越小越好）来衡量：

为了确定，建立了以下多目标优化模型：

可以将上述模型转化为单目标优化模型：

其中H是一个对角矩阵：

忽略约束(17c)并建立拉格朗日函数：

求解可得：

满足约束条件（17c）。

3、确定权重的综合方法

为了使权重得到主观和客观因素的影响，我们将主观方法(即模型(7))和客观方法(即模型(17))结合起来，以建立以下两个目标规划模型：

采用多目标规划分析中的线性加权求和法来解决该问题。该程序描述如下：

其中：

其中：

忽略了非负约束(25c)，然后建立以下拉格朗日函数

求解可得：

其中，是由主客观综合方法确定的权重向量。

4、综合方法的应用

在本节中，用一个例子来实践综合方法。

一位用户打算选择一个机器人，有四种选择可供他/她选择。在作出决定时，所考虑的属性如下：

有关机器人的决策信息见下表。

根据上表可以得到决策矩阵A：

可以归一化为矩阵B

假设机器人用户给出了他/她关于权重的成对比较矩阵D：

三种方法（主观、客观、综合）计算权重结果如下：

下表针对权重对方案进行了排序：

5、结论

改文章提出了在MADM问题中确定属性权重的主观客观综合方法。该方法通过求解一个数学规划模型来确定权重，并考虑了主观因素和客观因素。它克服了主观方法或客观方法中出现的不足。