树--二叉树(C语言纯手凹)

目录

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1.什么是树?(不深入,仅做了解)

2.树的表示方式

2.1孩子兄弟表示法(左孩子右兄弟)

 2.2孩子表示法

2.3双亲表示法

 3.什么是二叉树

4.二叉树分类

4.1满二叉树

4.2完全二叉树

4.3二叉搜索树(二叉查找树、二叉排序树)

4.4平衡二叉搜索树(AVL树)

 5.二叉树的存储结构

6.二叉树性质

6.1若规定根节点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点

6.2 若规定根节点的层数为1,则深度为h的二叉树的最大结点数(满二叉)是2^h- 1(等比数列求和)

6.3对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0=n2 +1

 (公式记住就好)

6.4 若规定根节点的层数为1,具有n个结点的满二叉树的深度,h = Log 2 (N + 1)(由2取对数可推)

7.二叉树性质相关选择题

7.1. 某二叉树共有 399 个结点,其中有 199 个度为 2 的结点,则该二叉树中的叶子结点数为( B )

7.2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中,叶子结点个数为(A )

7.3.一棵完全二叉树的节点数位为531个,那么这棵树的高度为( B )

8.二叉树链式结构的遍历

8.1深度优先遍历

8.2广度优先遍历

 9.实现

9.1前序遍历的实现

9.2中序遍历的实现

9.3后序遍历的实现

9.4前中后序遍历有关的选择题

9.5层序遍历(广度优先遍历)的实现

 10.有关二叉树的OJ题目

10.1  144. 二叉树的前序遍历 - 力扣(LeetCode)

10.2  94. 二叉树的中序遍历 - 力扣(LeetCode)

10.3  145. 二叉树的后序遍历 - 力扣(LeetCode)

10.4  104. 二叉树的最大深度 - 力扣(LeetCode)

10.5110. 平衡二叉树 - 力扣(LeetCode)

 10.6清华大学OJ-二叉树遍历


1.什么是树?(不深入,仅做了解)

树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 有一个特殊的结点,称为根结点,根节点没有前驱结点,除根节点外,其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm,其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继 因此,树是递归定义的。

 树--二叉树(C语言纯手凹)_第1张图片

 A为根节点,#为NULL,D、E为叶节点。

判断下面的是不是树?

树--二叉树(C语言纯手凹)_第2张图片

 注意这个是非树,需要知道树的性质:

1.每个节点(除根节点外)有且只有一个父节点

2.子树之间不相连

3.一颗n节点的树有n-1条边

4.0节点为空树

树--二叉树(C语言纯手凹)_第3张图片

 树--二叉树(C语言纯手凹)_第4张图片

节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如上图:A的为6

叶节点或终端节点:度为0的节点称为叶节点; 如上图:B、C、H、I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点:度不为0的节点; 如上图:D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B 的父节点

孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:B是A的孩子节 点

兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C是兄弟节点

树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为6

节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;(也有根为第0层的说法)

树的高度或深度:树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为4

节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先

子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙

森林:由m(m>0)棵互不相交的多颗树的集合称为森林。

2.树的表示方式

2.1孩子兄弟表示法(左孩子右兄弟)

typedef int DataType;
struct Node
{
    struct Node* _firstChild1;    // 第一个孩子节点
    struct Node* _pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟节点
    DataType _data;               // 节点数据域
};

 树--二叉树(C语言纯手凹)_第5张图片

 2.2孩子表示法

typedef int DataType;
struct Node
{
    struct Node* _Child1;    // 第1个孩子节点
    struct Node* _Child2;    // 第2个孩子节点
    struct Node* _Child3;    // 第3个孩子节点
    struct Node* _Child4;    // 第4个孩子节点
    //...(可能有很多个孩子节点)
};

 有很多孩子节点就不适用了,一般用于二叉树。

2.3双亲表示法

typedef int DataType;
#define MAXX 100
//树的节点
typedef struct ParentTreeNode
{
    DataType data;
    int parent;
}PTNode;
//树的定义
typedef struct ParentTree
{
    PTNode arr[MAXX];//数组结构
    int num;//节点数
}PTree;

树--二叉树(C语言纯手凹)_第6张图片

 3.什么是二叉树

二叉树是结点的一个有限集合,该集合或者为空,或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

特点:

1. 每个结点最多有两棵子树,即二叉树不存在度大于2的结点。

2. 二叉树的子树有左右之分,其子树的次序不能颠倒

树--二叉树(C语言纯手凹)_第7张图片

4.二叉树分类

4.1满二叉树

一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值(2个),则这个二叉树就是满二叉树。也就是说,如果一个二叉树的层数为K,且结点总数是(2^k) -1(计算等会讲) ,则它就是满二叉树。

树--二叉树(C语言纯手凹)_第8张图片

4.2完全二叉树

完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。除了底层节点可能没填满,其他层每个节点的度都为二叉树最大(2个),并且底层的节点都集中在底层靠左边若干位置(不靠左就不是),若底层为第h层,则最后一层可能有1~2^(h-1)个节点。满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

树--二叉树(C语言纯手凹)_第9张图片

树--二叉树(C语言纯手凹)_第10张图片

4.3二叉搜索树(二叉查找树、二叉排序树)

二叉搜索树是有数值的,是一个有序树,每个节点满足下列规则:

1.若它的左子树不为空,则左子树上所有节点的值都小于它的根节点的值;(别理解错了,好好理解一下)

2.若它的右子树不为空,则右子树上所有节点的值都大于它的根节点的值;

3.它的左右子树都为二叉搜索树;

总结:左小右大。

树--二叉树(C语言纯手凹)_第11张图片

4.4平衡二叉搜索树(AVL树)

平衡二叉树又名为AVL树,它可以是空树,或者它的左右两个子树的高度(深度)差的绝对值(abs函数)不超过1,并且左右两个子树都是一颗平衡二叉树。


 树--二叉树(C语言纯手凹)_第12张图片树--二叉树(C语言纯手凹)_第13张图片

 5.二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储,一种顺序存储(数组),一种链式存储(指针)

一般使用数组只适合表示完全二叉树,因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储,所以一般使用链式存储的方式。

链式存储:

树--二叉树(C语言纯手凹)_第14张图片

 顺序存储(按照树的层次遍历顺序来存储节点)(一般用于堆排序):

树--二叉树(C语言纯手凹)_第15张图片

 leftchild = parent*2 + 1;

rightchild = parent*2 + 2;

parent = (child-1) / 2  (忽略小数点).

6.二叉树性质


6.1若规定根节点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点

树--二叉树(C语言纯手凹)_第16张图片

6.2 若规定根节点的层数为1,则深度为h的二叉树的最大结点数(满二叉)是2^h- 1(等比数列求和)

树--二叉树(C语言纯手凹)_第17张图片

6.3对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0=n2 +1

 (公式记住就好)

6.4 若规定根节点的层数为1,具有n个结点的满二叉树的深度,h = Log 2 (N + 1)(由2取对数可推)

7.二叉树性质相关选择题

7.1. 某二叉树共有 399 个结点,其中有 199 个度为 2 的结点,则该二叉树中的叶子结点数为( B )

A 不存在这样的二叉树  B 200  C 198  D 199

解析:性质6.3秒了

7.2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中,叶子结点个数为(A )

A n  B n+1  C n-1  D n/2

解析:树--二叉树(C语言纯手凹)_第18张图片

7.3.一棵完全二叉树的节点数位为531个,那么这棵树的高度为( B )

A 11 B 10 C 8 D 12

解析:由题意知道是完全二叉树,估算一下2^9 - 1== 512(满二叉树9层节点数),那么531就要排到10层了,所以B。

8.二叉树链式结构的遍历

二叉树主要有两种遍历方式:深度优先遍历,广度优先遍历。

8.1深度优先遍历

先往深度遍历,遇到子节点时再往回遍历,深度优先遍历又分为 前序遍历(NLR)、中序遍历(LNR)、后序遍历(LRN),N-根,L-根的左子树,R-根的右子树,根节点是必定访问的,所以顺序是根据根节点的访问顺序命名的。

树--二叉树(C语言纯手凹)_第19张图片

树--二叉树(C语言纯手凹)_第20张图片 树--二叉树(C语言纯手凹)_第21张图片

8.2广度优先遍历

设二叉树的 根节点所在层数为1,层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发,首先访问第一层的树根节点,然后从左到右访问第2层上的节点,接着是第三层的节点,以此类推,自上而下,自左至右逐层访问 树的结点的过程就是层序遍历。

树--二叉树(C语言纯手凹)_第22张图片

 9.实现

9.1前序遍历的实现

#include

typedef int DataType;
//树节点
typedef struct TreeNode
{
	DataType data;//数据域
	struct TreeNode* left;//左子树
	struct TreeNode* right;//右子树
}TN;

//构建树
void CreatTree(TN* tree, TN* lefttree, TN* righttree,DataType x)
{
	tree->data = x;
	tree->left = lefttree;//连接左树
	tree->right = righttree;//连接右树
}

//前序遍历//递归实现
void PrefaceTraversal(TN* tree)
{
	if (tree == NULL)//临界条件--叶子节点
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	printf("%d ", tree->data);//访问根节点
	PrefaceTraversal(tree->left);//访问左子树
	PrefaceTraversal(tree->right);//访问右子树
}

int main()
{
	//搭建一颗树
	TN tree1,tree2,tree3,tree4,tree5,tree6,tree7;
	CreatTree(&tree1, &tree2, &tree3, 1);
	CreatTree(&tree2, &tree4, &tree5, 2);
	CreatTree(&tree3, &tree6, &tree7, 3);
	CreatTree(&tree4, NULL, NULL, 4);
	CreatTree(&tree5, NULL, NULL, 5);
	CreatTree(&tree6, NULL, NULL, 6);
	CreatTree(&tree7, NULL, NULL, 7);
	PrefaceTraversal(&tree1);//访问

	return 0;
}

 树--二叉树(C语言纯手凹)_第23张图片

9.2中序遍历的实现

//中序遍历//递归实现
void MidTraversal(TN* tree)
{
	if (tree == NULL)//临界条件--叶子节点
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	MidTraversal(tree->left);//访问左子树
	printf("%d ", tree->data);//访问根节点
	MidTraversal(tree->right);//访问右子树
}

树--二叉树(C语言纯手凹)_第24张图片

9.3后序遍历的实现

//后序遍历//递归实现
void PosTraversal(TN* tree)
{
	if (tree == NULL)//临界条件--叶子节点
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	PosTraversal(tree->left);//访问左子树
	PosTraversal(tree->right);//访问右子树
	printf("%d ", tree->data);//访问根节点
}

树--二叉树(C语言纯手凹)_第25张图片

9.4前中后序遍历有关的选择题

1. 某完全二叉树按层次输出(同一层从左到右)的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为( A)
A ABDHECFG
B ABCDEFGH
C HDBEAFCG
D HDEBFGCA
解析:画图易得;
2. 二叉树的先序遍历和中序遍历如下:先序遍历: EFHIGJK; 中序遍历: HFIEJKG. 则二叉树根结点为 (A)
A E
B F
C G
D H  
解析:先序(前序)的一个访问的就是根节点。
3. 设一课二叉树的中序遍历序列: badce ,后序遍历序列: bdeca ,则二叉树前序遍历序列为 (D)
A adbce
B decab
C debac
D abcde

 解析:前序和后序可以确定根节点(包括子树的根节点),中序可以根据前面分开的根节点确定左子树和右子树。

树--二叉树(C语言纯手凹)_第26张图片

树--二叉树(C语言纯手凹)_第27张图片

9.5层序遍历(广度优先遍历)的实现

实现原理:使用队列,先进先出;

核心思想:上一层带下一层;

树--二叉树(C语言纯手凹)_第28张图片

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include
#include
#include
#include

typedef int DataType;
typedef struct TreeNode* QDataType;
//树节点
typedef struct TreeNode
{
	DataType data;//数据域
	struct TreeNode* left;//左子树
	struct TreeNode* right;//右子树
}TN;

//构建树
void CreatTree(TN* tree, TN* lefttree, TN* righttree, DataType x)
{
	tree->data = x;
	tree->left = lefttree;//连接左树
	tree->right = righttree;//连接右树
}

//队列节点
typedef struct QueueNode
{
	//指向下一个
	struct QueueNode* next;
	//数据域
	QDataType data;//这里数据是树的结构体指针
}QN;

//队列
typedef struct Queue
{
	//记录头节点
	QN* head;
	//记录尾节点
	QN* tail;
}Queue;

//初始化队列
void QueueInit(Queue* q)
{
	assert(q);
	q->head = q->tail = NULL;
}

//入队列--尾插
void QueuePush(Queue* q, QDataType tree)
{
	assert(q);
	QN* newnode = (QN*)malloc(sizeof(QN));
	if (newnode == NULL)//开辟失败
	{
		perror("malloc fail");
		exit(-1);
	}
	//队列为空
	if (q->head == NULL)
	{
		q->head = q->tail = newnode;
		newnode->data = tree;
		newnode->next = NULL;
	}
	//队列不为空
	else
	{
		q->tail->next = newnode;
		newnode->data = tree;
		newnode->next = NULL;
		q->tail = newnode;
	}
}

//出队列--头删
void QueuePop(Queue* q)
{
	assert(q);
	//队列为空不能删
	assert(q->head);
	//只有一个节点的情况
	if (q->head->next == NULL)
	{
		free(q->head);
		q->head = q->tail = NULL;
		return;
	}
	//队列多个节点
	QN* temp = q->head->next;
	free(q->head);
	q->head = temp;
}

//判断队列是否为空
bool QueueEmpty(Queue* q)
{
	assert(q);
	//空为真
	return q->head == NULL;
}

//访问队头
QDataType QueueFront(Queue* q)
{
	assert(q);
	//空不能访问
	assert(q->head);

	return q->head->data;
}

//销毁
void QueueDestroy(Queue* q)
{
	assert(q);
	QN* pcur = q->head;
	//循环遍历
	while (pcur)
	{
		QN* temp = pcur->next;
		free(pcur);
		pcur = temp;
	}
	//置空
	q->head = q->tail = NULL;
}

//层序遍历
void LevelTraversal(TN* tree)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	if (tree)
	{
		QueuePush(&q, tree);
	}
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		TN* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		printf("%d ", front->data);

		if (front->left)
		{
			QueuePush(&q, front->left);
		}
		if (front->right)
		{
			QueuePush(&q, front->right);
		}
	}

	printf("\n");

	QueueDestroy(&q);
}

int main()
{
	//搭建一颗树
	TN tree1, tree2, tree3, tree4, tree5, tree6, tree7;
	CreatTree(&tree1, &tree2, &tree3, 1);
	CreatTree(&tree2, &tree4, &tree5, 2);
	CreatTree(&tree3, &tree6, &tree7, 3);
	CreatTree(&tree4, NULL, NULL, 4);
	CreatTree(&tree5, NULL, NULL, 5);
	CreatTree(&tree6, NULL, NULL, 6);
	CreatTree(&tree7, NULL, NULL, 7);
	LevelTraversal(&tree1);//访问

	return 0;
}

树--二叉树(C语言纯手凹)_第29张图片

 10.有关二叉树的OJ题目

10.1  144. 二叉树的前序遍历 - 力扣(LeetCode)

 树--二叉树(C语言纯手凹)_第30张图片

 树--二叉树(C语言纯手凹)_第31张图片

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     struct TreeNode *left;
 *     struct TreeNode *right;
 * };
 */
/**
 * Note: The returned array must be malloced, assume caller calls free().
 */
//统计节点个数
int TreeSize(struct TreeNode* root){
    return root == NULL ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}

//前序遍历
void prevorder(struct TreeNode* root,int* a, int* pi)
{
    if(root == NULL)
        return;
    a[*pi] = (root->val);
    (*pi)++;
    prevorder(root->left,a,pi);
    prevorder(root->right,a,pi);
}

int* preorderTraversal(struct TreeNode* root, int* returnSize) {
   //创建数组
    int size = TreeSize(root);
    int* arr = (int*)malloc(sizeof(int) * size);
    int i = 0;
    prevorder(root,arr,&i);

    *returnSize = size;
    return arr;
}

10.2  94. 二叉树的中序遍历 - 力扣(LeetCode)

10.3  145. 二叉树的后序遍历 - 力扣(LeetCode)

上面两道做法跟10.1一样

10.4  104. 二叉树的最大深度 - 力扣(LeetCode)

树--二叉树(C语言纯手凹)_第32张图片

树--二叉树(C语言纯手凹)_第33张图片

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     struct TreeNode *left;
 *     struct TreeNode *right;
 * };
 */
int maxDepth(struct TreeNode* root) {
    if(root == NULL)
    {
        return 0;
    }
    int left = maxDepth(root->left);
    int right = maxDepth(root->right);

    return left > right ? left + 1 : right + 1;
}

10.5110. 平衡二叉树 - 力扣(LeetCode)

树--二叉树(C语言纯手凹)_第34张图片

树--二叉树(C语言纯手凹)_第35张图片

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     struct TreeNode *left;
 *     struct TreeNode *right;
 * };
 */
//深度
int MaxDepth(struct TreeNode* root)
{
    if(root == NULL)
        return 0;
    int left = MaxDepth(root->left);
    int right = MaxDepth(root->right);

    return left > right ? left + 1 : right + 1;
}

bool isBalanced(struct TreeNode* root) {
    if(root == NULL)
        return true;
    
    int left = MaxDepth(root->left);
    int right = MaxDepth(root->right);
    
    if(abs(left - right) < 2 && isBalanced(root->left) && isBalanced(root->right))//要判断子树本身是否是平衡二叉树
        return true;
    else
        return false;
}

 10.6清华大学OJ-二叉树遍历

二叉树遍历__牛客网 (nowcoder.com)

树--二叉树(C语言纯手凹)_第36张图片

 先创建树(分治思想递归构建),再中序遍历。

#include 
#include 
#define MAXX 100

typedef struct TreeNode
{
	struct TreeNode* left;
	struct TreeNode* right;
	char val;
}TN;

TN* CreatTree(char* s, int* pi)
{
	if (s[*pi] == '#')
	{
		(*pi)++;
		return NULL;
	}
	TN* root = (TN*)malloc(sizeof(TN));
	if (root == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		exit(-1);
	}
	root->val = s[*pi];
	(*pi)++;
	root->left = CreatTree(s, pi);
	root->right = CreatTree(s, pi);

	return root;
}

void Inorder(TN* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}
	Inorder(root->left);
	printf("%c ", root->val);
	Inorder(root->right);
}

int main()
{
	char s[MAXX];
	scanf("%s", s);
	int i = 0;
	TN* root = CreatTree(s, &i);
	Inorder(root);
	return 0;
}

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