MIT18.06线性代数课程笔记20：矩阵逆元计算、克里默法则 以及 行列式与volume、外积的关系

课程简介

18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课，课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm。

课程笔记

利用代数余子式计算方阵的逆元，进而求解 Ax=b ，最后简要阐述了行列式与volume的关系，并对外积做了简要介绍。

文中所用图取自 Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. 4th ed. Wellesley-Cambridge Press, 2009. ISBN: 9780980232714.

1. 方阵逆元

如 MIT18.06线性代数课程笔记19：矩阵行列式公式与代数余子式 中所述，

∑i=1najiCji=det(A)=∑i=1naijCij

构造方阵 Cn×n ，且 Cij=Cij ，即矩阵 A 的代数余子式，则有

CTA=det(A)⋅I1det(A)CT=A−1

证明如下：

[CTA]jj=∑i=1naijCij=det(A)[CTA]jk=∑i=1naikCij=0

第一个等式来源于行列式的计算公式。第二个等式同样具有使用代数余子式计算行列式的形式，但是却将 aij 变成了 aik ，即计算的不再是 A 的行列式，而是将A 中第 j 列替换为第k 列的行列式。因为新替换得到的矩阵存在两个相同列，从而行列式为0。

回忆之前矩阵逆元的计算是利用消元法，是个algorithm；而利用代数余子式，我们直接得到了矩阵逆元的计算公式，是algebra。

2. 克拉默法则：求解Ax=b

克拉默法则即将上诉逆元公式应用起来，得到利用代数余子式求解 Ax=b 的公式，实际使用中多是消元法。

Ax=b⇒x=A−1b=1det(A)CTb⇔det(A)⋅xj=∑i=1nCijbi

同样 det(A)⋅xj 为将矩阵 A 的第j 列替换为 b 的新矩阵的行列式。上诉方法需要计算n+1 个行列式，计算量非常大。

3. 行列式与volume的关系

这个结论比较有意思，可以直接通过box的顶点坐标求解volume。

3.1. 2维情况

Claim: 平行四边形的面积等于顶点坐标矩阵的行列式。具体地，如下图所示

顶点坐标为 (0,0),(x1,y1),(x2,y2),(x1+x2,y1+y2) 的平行四边形的面积为

|x1,y1x2,y2|

证明如下：

行列式的三个基础性质（MIT18.06线性代数课程笔记18：矩阵行列式的性质）平行四边形的面积都满足，从而行列式与平行四边形面积等价。

1. 单位阵对应于大小为1的正方形，面积为1，等于行列式。

2. 交换两行位置，得到的平行四边形左旋与右旋的方向取反，从而面积取反，与行列式相同。

3. a. 某一行加倍，则平行四边形面积加倍，与行列式相同。

   b. 某一行加上另一个向量，平行四边形面积为两者相加，与行列式相同。

关于性质3的证明如下图所示：

3.2. 三维情况与外积

Claim: 行列式与volume相等，等于triple product。

第一部分的结论图示如下：

图中所示的box的体积为 ⎡⎣⎢a11,a12,a13a21,a22,a23a31,a32,a33⎤⎦⎥ 的行列式。

triple product的定义为 (a×b)⋅c ，即两个向量的外积与第三个向量做内积。

关于外积的简易定义如下：

a1×a2=det(⎡⎣⎢ i , j , k a11,a12,a13a21,a22,a23⎤⎦⎥)

具有如下性质（均易于证明）：

1. a×b=−b×a （行列式性质2）
2. (a×b)⋅a=(a×b)⋅b=0 （两个相同行的行列式为0）
3. a×a=0 （两个相同行的行列式为0）
4. ||a×b||=||a|| ||b|| |sinθ| 等于 a,b 构成的平行四边形的面积（定义坐标系使得 a,b 位于 x,y 平面则易于验证；同时单位长度固定的情况下，坐标系改变并不会改变各个向量的模以及夹角，故各种情况下等式均成立）

基于外积的定义可证 (a×b)⋅c=det(⎡⎣⎢a11,a12,a13a21,a22,a23a31,a32,a33⎤⎦⎥) 。