程序员常用10种算法-动态规划算法

动态规划算法

应用场景-背包问题

背包问题：有一个背包，容量为 4 磅 ， 现有如下物品

1. 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出 2) 要求装入的物品不能重复

动态规划算法介绍

1. 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解 的处理算法
2. 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这 些子问题的解得到原问题的解。
3. 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子 阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 ) 4) 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

动态规划算法最佳实践-背包问题

思路分析和图解

1. 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价 值最大。其中又分 01 背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
2. 这里的问题属于 01 背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为 01 背包。
3. 算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第 i 个物品，根据 w[i]和 v[i]来确定是否需要将该物品 放入背包中。即对于给定的 n 个物品，设 v[i]、w[i]分别为第 i 个物品的价值和重量，C 为背包的容量。再令 v[i][j] 表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：
   (1) v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是 0
   (2) 当 w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j]
   // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略 (3) 当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
   // 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,
   // 装入的方式:
   v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值
   v[i] : 表示当前商品的价值 v[i-1][j-w[i]] ： 装入 i-1 商品，到剩余空间 j-w[i]的最大值
   当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :

图解的分析

代码实现

package com.iflytek.dynamic;

public class Knapsack {

    static int capacity = 11;// 背包容量
    static int num = 5;// 物品数量
    static int[] weight = {0, 1, 2, 5, 6, 7};// 下标从1开始，前5件商品的数量
    static int[] value = {0, 1, 6, 18, 22, 28};// 标从1开始,前5件商品重量

    public static void main(String[] args) {
        // 求出装入前5件物品（全部物品）背包容量剩余11（全部容量）时的最大价值
        int maxValue = getMax(num, capacity);
        System.out.println("可以装入的最大价值：" + maxValue);
    }

    /**
     * 递归方式求解
     *
     * @param i 装入前i件商品
     * @param w 剩余背包容量w
     * @return 当前情况下的最大价值
     */
    public static int getMax(int i, int w) {
        if (i == 0 || w == 0) {// 装入前0件物品/背包容量为0时的最大价值肯定为0
            return 0;
        }
        if (w < weight[i]) {// 剩余容量装不下第i件物品
            return getMax(i - 1, w);
        } else {
            // 如果能装入，则判断装入后价值大，还是不装入价值大
            return Math.max(getMax(i - 1, w - weight[i]) + value[i], getMax(i - 1, w));
        }
    }
}