高中奥数 2021-10-23

2021-10-23-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 完全四边形、调和点列 P085 例7）

设凸四边形的两组对边分别交于点、,两条对角线的交点为,过作于点.求证:.

证明

如图,延长、分别与交于点、.

图1

若与平行,则视点在无穷远处.

由性质2知、调和分割线段,、调和分割线段.

因为,所以,根据性质5中(3)和(4)(1)和(2),知,.

因此,.

2021-10-23-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 完全四边形、调和点列 P085 例8）

过锐角的顶点、、的三条高分别交对边于点、、,过点平行于的直线分别交、于点、,交于点.证明:的外接圆过的中点.

图2

证明

如图,取边的中点.

由性质2知、、、是调和点列又是的中点,因此.(性质4的第(4)条)

易证、、、四点共圆.

又因,所以.

因此,、、、四点共圆,即.

由相交弦定理的逆定理知的外接圆过的中点.

2021-10-23-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 完全四边形、调和点列 P086 例9）

凸四边形的对角线交于点,两组对边的直线分别交于点、,经过的直线分别交、、于点、、.

正明:.

证明

如图,设与交于点,则、、、成调和点列.

图3

连结.

考虑过的四条线束、、、,它们被两条直线和所截,由于、、、成调和点列,因此,、、、是调和点列,即.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 完全四边形、调和点列 P086 例10）

如图,已知、、均在的边上,分别交、、于点、、.求证:

图4

证明

设直线,交于,再设与交于,由调和四边形的性质2知,、、、;、、、均为调和点列.

所以左式右式.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 完全四边形、调和点列 P086 例11）

如图,圆和圆与的三边所在的三条直线都相切,、、、为切点,并且、的延长线交于点.求证:直线与垂直.

图5

证明

设直线交于点.

对及截线,对及截线分别应用梅涅劳斯定理,有

.

由切线性质,有,,有,即.

知连结、,由,知.

连结、,则.

连结、,则在与中,有.

于是,,即有,从而直线为的的外角平分线.

设直线与直线交于点(或无穷远点),从而点、调和分割(由于、分别是内、外位似中心,,这里、分别为、的半径),即、、、为调和线束,于是知,故.