fft之后的实际频率

快速傅里叶变换FFT

fft在matlab中的函数就是fft，它式离散傅里叶变换的快速算法。fft的数学公式为：
$$X[k]=\frac{1}{N}\sum _{n=1}^{N}x[n]e^{j\frac{2\pi kn}{N}}$$
原来的信号的序列长度为$N$，则fft之后得到的结果依然是$N$个点。
fft之后的$X[k]$表示了第$k$个频率分量。那么如何将$k$对应到真实频率上去呢？

真实频率

真实频率取决于两点：

1. 得到原始序列$x[n]$的采样频率；
2. 采样点数；

例如采样点数是1000，采样频率是1000Hz，那么真实频率就是1，2，…，500Hz。
例如采样点数是2000，采样频率是1000Hz，那么真实频率就是0.5，1，1.5，…，500Hz。
由此可知道，采样率不变，采样点数越多，频率分辨率便越高。
fft之后得到的最高频率分量是采样频率的1/2，频率区分的刻度（即频率分辨力=采样频率/采样点数）。
假设真实频率为$f(k)$，采样频率为$f_s$，采样点数为$N$，真实频率为：
$$f(k)=k\ast (\frac{f_s}{N})$$

仿真实验

以下仿真程序，信号模型为多频点信号，采样率为1000，采样点数为2000个，因此频率分辨率为1000/2000=0.5Hz，频率值为0.5,1,1,5,…500。
代码如下：

%% 离散傅里叶变换
% 2022.5.26
% cleal all; close all; clc;
T = 2; % 总时间
fs = 1000; % 采样率
dt = 1/fs; % 采样间隔
t = 0:dt:T-dt; % 时间刻度向量
N = length(t); %序列长度
f1 = 100; % 频率分量1
f2 = 300; % 频率分量2
x = cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t); % 基带信号
plot(t,x) % 绘图
X = fftshift(fft(x))*2/N; % fft
deltFrequency = fs/N; %频率分辨率
freqAxis = -fs/2:deltFrequency:fs/2-deltFrequency; % 频率正半轴
stem(freqAxis,abs(X));% 绘制幅度谱
axis([-501,501,0,1.3]); %控制坐标轴变量

幅度谱如下：

图1. 多频点信号的幅度谱

在进行fft并且绘图的时候，经常需要进行频率轴坐标的设置，有点繁琐，所以我编写了一个函数，可以将fft和绘制频谱图封装起来：

function [X] = fftPlot(x,fs)
% 该函数用于离散傅里叶变换，并且绘制频谱图，重点在于频谱图的下标显示为对应频率值
%  Author:huasir 2023.11.22 @Beijing
% Input : 
%   * x: 输入信号
%   * fs：采样率
% Output : 
%    * X：离散傅里叶变换的结果，复数
N = length(x);
X = fftshift(fft(x))*2/N; % fft
deltFrequency = fs/N; %频率分辨率
freqAxis = -fs/2:deltFrequency:fs/2-deltFrequency; % 频率正半轴
figure;
plot(freqAxis,abs(X));% 绘制幅度谱
end