数据结构:1_算法的时间复杂度和空间复杂度
数据结构前言
一.什么是数据结构？
数据结构(Data Structure)是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。
二.什么是算法？
算法(Algorithm):就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。
三.数据结构和算法的重要性
- 在校园招聘的笔试中：
目前校园招聘笔试一般采用Online Judge形式， 一般都是20-30道选择题+2道编程题，或者3-4道编程题。
https://www.nowcoder.com/exam/test/35396318/summary
https://www.nowcoder.com/exam/test/28665243/summary
https://www.nowcoder.com/exam/test/27977147/summary
可以看出，现在公司对学生代码能力的要求是越来越高了，大厂笔试中几乎全是算法题而且难度大，中小长的笔试中才会有算法题。算法不仅笔试中考察，面试中面试官基本都会让现场写代码。而算法能力短期内无法快速提高了，至少需要持续半年以上算法训练积累，否则真正校招时笔试会很艰难，因此算法要早早准备。
- 在校园招聘的面试中：
某学长CVTE面试：
1.怎么计算一个类到底实例化了多少对象？
2.如果还有一个派生类继承了这个类，那么如何计算这两个类，各自实例化了多少对象？
3.你了解联合体和结构体吗？
4.如何测试一个机器是大端还是小端？
5.你了解队列和栈吗？
6.怎么用两个栈实现一个队列。
7.你使用过模版吗？
8.写一个比较两个数大小的模板函数。
9.你使用过容器吗？
10.判断两个链表是否相交。
11.Vector和数组的区别。
12.你在学校里做的最满意的一个项目是什么？简述一下这个项目。
某学长腾讯的面试：
1、自我介绍
2、学习STL具体是怎么开展的？
3、如果一款产品给你怎么检测内存泄露？
4、进程间通信方式，共享内存是怎么实现的，会出现什么问题，怎么解决？
5、TCP为什么是可靠的？可靠是怎么保证的？为什么要三次握手？为什么三次握手就可以可靠？
6、Http数据分包问题；
7、Vector相关；
8、Hashmap相关；
9、红黑树的原理、时间复杂度等；
10、Memcpy和memmove的区别；
11、客户端给服务器发送数据，意图发送aaa，然后再发bbb，但是可能会出现aaabbb这种情况，如何处理？
12、游戏的邮件服务器中每天会有玩家频繁的创建邮件和删除邮件，海量数据、大小不一，会有哪些场景，怎么存储，邮件是怎么到内存的？
13、写一道算法题
某学姐百度的面试：
1.手写五道题，三道编程题，一道数据库，一道linux
2.数据库的题两问
3.算法了解的如何，插入排序编程
4.说一下IP,TCP,ARP
5.内核是什么
6.IP层主要功能
7.map和set底层
8.bootstrap的用法,html,html的全称
9.你觉得框架和库有啥区别
10.代码优化
11.哈希表
12.shell脚本
13.快速排序思想
14.递归是什么
15.分治是什么，与递归区别是什么
16.web平台是怎么做的
17.linux命令
18.了解些什么前沿的技术，英语怎么样，了解过什么英语的文献
- 在未来的工作中：
https://www.zhihu.com/question/36579347/answer/217323640
四.如何学好数据结构和算法
1. 死磕代码
2. 注意画图和思考
算法的时间复杂度和空间复杂度
一.算法效率
1. 如何衡量一个算法的好坏
如何衡量一个算法的好坏呢？比如对于以下斐波那契数列：
long long Fib(int N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}
斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但简洁一定好吗？那该如何衡量其好与坏呢？
2. 算法的复杂度
算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。
3. 复杂度在校招中的考察
二.时间复杂度
1. 时间复杂度的概念
时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数(数学中的函数)，它定量描述了该算法的运行时间。一
个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。
// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
for (int j = 0; j < N ; ++ j)
{
++count;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。
2. 大O的渐进表示法
- 大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
- 推导大O阶方法：
- 1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
- 2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
- 3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：
通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
最好 最坏 平均 ->时间复杂度是保守的估计,取最坏O(N),叫做预期管理法.
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
**在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，**所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
3. 常见时间复杂度计算举例
- 实例1：
- O(N)
// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
- 实例2:
- O(M+N)
// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++ k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N ; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
- 实例3:
- O(1)
// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
- 实例4:
- O(N)
// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );
- 实例5:
- O(N)
// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
- 实例6:
- O(logN)
// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n-1;
// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
while (begin <= end)
{
int mid = begin + ((end-begin)>>1);
if (a[mid] < x)
begin = mid+1;
else if (a[mid] > x)
end = mid-1;
else
return mid;
}
return -1;
}
注意:默认logN等价log以2为底的对数,以其他次数为底的不能缩写,只有以2为底的才可以缩写.
- 实例7:
- O(N)
// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(0 == N)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}
- 实例8:
- O(2^N)
// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}
- 实例答案及分析：
- 实例1基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)
- 实例2基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)
- 实例3基本操作执行了10次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)
- 实例4基本操作执行最好1次，最坏N次，时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N)
- 实例5基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N+1)/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)
- 实例6基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN) ps：logN在算法分析中表示是底数为2，对数为N。有些地方会写成lgN。
- 实例7通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。
- 实例8通过计算分析发现基本操作递归了2N次，时间复杂度为O(2N)。
- 时间复杂度计算不能数代码中循环根据思想，灵活计算
三.空间复杂度
空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。
- 实例1：
// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
- 实例2：
// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
if(n==0)
return NULL;
long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; ++i)
{
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
}
return fibArray;
}
- 实例3：
// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(N == 0)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}
-
实例答案及分析：
-
- 实例1使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)
-
- 实例2动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)
-
- 实例3递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)
-
递归空间复杂度计算，也是空间累加，但是不同的是空间可以重复利用
四.常见复杂度对比
一般算法常见的复杂度如下：
五.复杂度的oj练习
3.1消失的数字OJ链接：https://leetcode-cn.com/problems/missing-number-lcci/
3.2 旋转数组OJ链接：https://leetcode-cn.com/problems/rotate-array/
