插值算法——数学建模清风笔记

数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。

建模实例： MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理

参考资料：刘春凤： 中国大学MOOC数值计算方法

插值法的定义

插值法的概念：

设函数y = f(x)在区间[a,b]上有定义，且已知在点a<=x0

若存在一简单函数P(x)，使

P(xi) = yi   (i = 0,1,2,...,n)

则称P(x)为f(x)的插值函数，点x0,x1,...,xn称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法

插值多项式：P(x)是次数不超过n的代数多项式  P(x) = a0+a1x+...+an*xn

分段插值：P(x)为分段多项式（最常见）

三角插值：P(x)为三角多项式。一般要用到傅里叶变换等复杂的数学工具

插值法原理

只要n+1个节点互异，满足上述插值条件的多项式是唯一存在的

如果不限制多项式的次数，插值多项式并不唯一

插值多项式

拉格朗日插值法和牛顿插值法插值法都存在龙格现象的问题，并且仅仅要求插值多项式在插值节点处与被插函数有相等的函数值，不能全面反映被插值函数的性态，因此数学建模中一般不使用这两种方法。

直接使用Hermite插值得到的多项式次数较高，也存在着龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次 Hermite 插值多项式 (PCHIP）

拉格朗日插值法

例：

龙格现象

高次插值会产生龙格现象，即在两端处波动极大,产生明显的震荡。在不熟悉曲线运动趋势的前提下，不要轻易使用高次插值

插值多项式次数高精度未必提高

插值多项式次数越高摄入误差可能显著增大

牛顿插值法

与拉格朗日插值法相比，牛顿插值法的计算过程具有继承性。（牛顿插值法每次插值只和前n项的值有关，这样每次只要在原来的函数上添加新的项，就能够产生新的函数，而拉格朗日插值每增加一个数据都需要重新计算）

但是牛顿插值也存在龙格现象的问题。

埃尔米特插值法

不但要求在节点上的函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等,甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式。

分段插值（可以提高精度）

分段线性插值

精确度较低

分段二次插值

实际使用：分段三次埃尔米特插值

代码知识点

1.pchip()函数

Matlab有内置的函数：

p = pchip(x,y, new_x) 

x是已知的样本点的横坐标;y是已知的样本点的纵坐标;new_x是要插入处对应的横坐标

2.plot函数用法:
plot(x1,y1,x2,y2) 
线方式： ‐ 实线 :点线 ‐. 虚点线 ‐ ‐ 波折线
点方式： . 圆点 +加号 * 星号 x x形 o 小圆
颜色： y黄； r红； g绿； b蓝； w白； k黑； m紫； c青

x = ‐pi:pi; y = sin(x);
new_x = ‐pi:0.1:pi;
p = pchip(x,y,new_x);
plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r‐')

plot(x,y,'o')表示把x,y这组数据点用小圆在图上绘制出来

plot(new_x, p, 'r-')表示把(new_x, p)这组数据点用红色实线在图中绘制出来

plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r‐')表示把上面两个图像绘制在一张图上

MATLAB代码

% 分段三次埃尔米特插值
x = -pi:pi; y = sin(x); 
new_x = -pi:0.1:pi;
p = pchip(x,y,new_x);
figure(1); % 在同一个脚本文件里面，要想画多个图，需要给每个图编号，否则只会显示最后一个图哦~
plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r-')

实际使用：三次样条插值

数据的光滑性和连续性更好

代码知识点

1.spline()函数

Matlab有内置的函数：

p = spline (x,y, new_x) 

x是已知的样本点的横坐标;y是已知的样本点的纵坐标;new_x是要插入处对应的横坐标

2.legend(string1,string2,string3, …)

分别将字符串1、字符串2、字符串3……标注到图中，每个字符串对应的图标为画图时
的图标。

代码实现

% 三次样条插值和分段三次埃尔米特插值的对比
x = -pi:pi; 
y = sin(x); 
new_x = -pi:0.1:pi;
p1 = pchip(x,y,new_x);   %分段三次埃尔米特插值
p2 = spline(x,y,new_x);  %三次样条插值
figure(2);
plot(x,y,'o',new_x,p1,'r-',new_x,p2,'b-')
legend('样本点','三次埃尔米特插值','三次样条插值','Location','SouthEast')   %标注显示在东南方向
% ‘Location’用来指定标注显示的位置

可以看出，三次样条生成的曲线更加光滑。在实际建模中，由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。

n维数据的插值(了解)

代码知识点

interpn()函数

p = interpn(x1,x2,...,xn, y, new_x1,new_x2,...,new_xn, method)

x1,x2,...,xn是已知的样本点的横坐标

y是已知的样本点的纵坐标坐标

new_x1,new_x2,...,new_xn是要插入点的横坐标

method是要插值的方法
‘linear’：线性插值（默认算法）；
‘cubic’：三次插值；
‘spline’：三次样条插值法；(最为精准)
‘nearest’：最邻近插值算法。

MATLAB代码实现

% n维数据的插值
x = -pi:pi; y = sin(x); 
new_x = -pi:0.1:pi;
p = interpn (x, y, new_x, 'spline');
% 等价于 p = spline(x, y, new_x);
figure(3);
plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r-')

以上学习的算法可以用来预测

举例：根据过去10年的中国人口数据，预测接下来三年的人口数据

% 人口预测（注意：一般我们很少使用插值算法来预测数据，随着课程的深入，后面的章节会有更适合预测的算法供大家选择，例如灰色预测、拟合预测等）
population=[133126,133770,134413,135069,135738,136427,137122,137866,138639, 139538];
year = 2009:2018;
p1 = pchip(year, population, 2019:2021)  %分段三次埃尔米特插值预测
p2 = spline(year, population, 2019:2021) %三次样条插值预测
figure(4);
plot(year, population,'o',2019:2021,p1,'r*-',2019:2021,p2,'bx-')  %要预测的数据设为y
legend('样本点','三次埃尔米特插值预测','三次样条插值预测','Location','SouthEast')

注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中，国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭

补充知识点：subplot函数：可用于在同一个图形中同时显示多幅图像