差分算法模板

一维差分

差分主要是计算出某个区域段的数分别加上一个数

先给定一个原数组a：a[1], a[2], a[3], a[n];
然后我们构造一个数组b ： b[1] ,b[2] , b[3], b[i];
使得 a[i] = b[1] + b[2 ]+ b[3] +, + b[i]
也就是说，a数组是b数组的前缀和数组，反过来我们把b数组叫做a数组的差分数组。换句话说，每一个a[i]都是b数组中从头开始的一段区间和。

差分数组公式： b[i] = a[i] - a[i - 1]

一维insert函数(构造差分数组和实现区域加数操作)

我们先来讲讲用insert函数实现区域加数操作

我们要记得，a数组是b数组的前缀和数组，比如对b数组的b[i]的修改，会影响到a数组中从a[i]及往后的每一个数。

比如首先让差分b数组中的 b[l] + c ,a数组变成 a[l] + c ,a[l+1] + c, a[n] + c
理解了这一点，就可以推出以下的公式

b[l] + c，效果使得a数组中 a[l]及以后的数都加上了c(红色部分)，但我们只要求l到r区间加上c, 因此还需要执行 b[r+1] - c,让a数组中a[r+1]及往后的区间再减去c(绿色部分)，这样对于a[r] 以后区间的数相当于没有发生改变。

得出一维差分结论：给a数组中的[ l, r]区间中的每一个数都加上c,
只需对差分数组b做 b[l] + = c, b[r+1] - = c

同时，通过这个insert函数，我们也可以用来构造差分数组

void insert(int l, int r, int v)
{
    b[l] += v;
    b[r + 1] -=v;
}

for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
        insert(i, i, a[i]);  //差分数组默认初始化为
    }  

根据差分数组公式：b[1] = a[1] b[2] = a[2] - a[1],
可以试着 模拟几次数据
i = 1时, 在[1, 1] 这个区间 加上a[i]—> b[1] = a[1] b[2] - = a[1]
i = 2时候， b[2] += a[2] --> 也就相当于 b[2] = a[2] - a[1]
（前面i = 1的时候，减去过a[1],后面i = 2时，加上a[2]）
这种做法就比较巧妙

一维差分模板题

#include
#include

using namespace std;

//一维差分模板
//差分的作用：就是用来计算某个区间断，加上某个数
//注意:差分和前缀和的数组下标都是从1开始的

const int N = 1e5 + 10;
int a[N];  //原数组
int b[N];  //差分数组
//差分数组的前缀和就是原数组

//差分数组的求法：
/*
    差分数组默认初始化为0，但是要实现，在某个区间端加上某一个数
    就要先有原来数组的数据，然后再进行加数的操作
    这里统一，可以使用insert(int l, int r, int v)函数来进行操作
    
    l代表左端点，r代表端点，v代表加的数的大小
    函数的作用：在区间[l, r]这个区间中，加上v这个数
    
    赋给原来数组的数据可以用  insert(i, i, a[i]);  

    例如 ：b[1] = 0;  在i = 1的时候，在[1, 1]这个区间中插入 a[i]的值
    但是由于插入之后，后面前缀和数组也要发生变化，所以后面也得减去v
    
    b[l]变化 ，b[l]后面的也得变化，[l, r]也加上了v, 所以r + 1后面的，都减去v
*/

//注意：此处要假设  a[n] 是b[n]的前缀和
//即 : a[n] = b[1] + b[2] + b[3]...... + b[n];

void insert(int l, int r, int v)
{
    b[l] += v;
    b[r + 1] -=v;
}

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
        insert(i, i, a[i]);  //差分数组默认初始化为
    }  
    
    int l, r, c;
    while(m--)
    {
        cin >> l >> r >> c;
        insert(l, r, c);
    }
    
    //算差分和数组
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        b[i] += b[i - 1];    // 这里直接在原数组上进行了前缀和的计算，a[i] = b[i] + a[i - 1];
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {

> 这里是引用

        cout << b[i] << " ";
    }
    return 0;
}

这里注意:算出差分数组b[i]，并不是结果数组，结果数组是a[i],要对b[i]进行前缀和算出a数组

二维差分

一维变成二维，其他步骤基本没变化，变化的是insert函数

二维insert函数(构造差分数组和实现区域加数操作)

这里采用了acwing中一位大佬的题解，讲解的非常好
然后我们就得到了二维差分数组中的差分数组

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
	b[x1][y1] += c;
	b[x1][y2 + 1] -=c;
	b[x2 + 1][y1] -= c
	b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

同样利用这个insert函数，也能构造出二维的差分数组，思路跟一维的类似，这里就不在详细说了，不懂的再去看看前面一维那部分的讲解。

二维差分模板题

#include
#include

using namespace std;

const int N = 1010;
int a[N][N],b[N][N];
int n, m, q;


void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] +=c;
    b[x2 + 1][y1] -=c;
    b[x1][y2 + 1] -=c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] +=c;
}

int main()
{
    
    cin >> n >> m >> q;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            cin >> a[i][j];
            insert(i, j, i, j, a[i][j]); //差分数组初始化
        }
    }
    
    //区间加上某个数
    int x1, y1, x2, y2, c;
    while(q--)
    {
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        insert(x1, y1, x2, y2, c);   
    }
    
    //算出a[n]
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            //可以在在b数组本身上进行前缀和加的计算()
            //方式一:
            //b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];
            
            //也可以这样
            //方式二:用原数组进行 a[i][j] = a[i -1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + b[i][j]
            
            a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + b[i][j];
        } 
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            //方式一：
            //cout << b[i][j] << " ";
            
            //方式二：
            cout << a[i][j] << " ";
            
        }
        cout << endl;
    }
    
    return 0;
}