[dfs] aw167. 木棒(dfs剪枝与优化+分类讨论+思维+好题)

1. 题目来源

链接：167. 木棒

2. 题目解析

直接给这道题的剪枝方案和思想 $orz$ 了…

首先的首先，理解题意。本题抽象就是：给定 n 个数，将这 n 个数分成和相等的组，其中每个数只能用一次，求这些和相等的分组中所有元素最小的和。 这已经高度抽象了。

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名词约定：

• 木棒：砍断之前的完整木棒，是输出答案。
• 木棍：砍断之后的短木棍，是题目输入。

首先确定枚举顺序，可以从小到大一次枚举木棒长度，再枚举每个木棒是由哪些木棍拼出来的，如果木棍能够恰好用完且拼成木棒的长度，说明该木棒长度即为所求答案。

其次，针对常见的 dfs 四大优化，在本题中看看是如何应用的：

• 优化1：优化搜索顺序。木棍从大到小排序，从大到小枚举，这样分支比较少。
• 优化2：排除等效冗余。本题中冗余很多，是重中之重：
  • 木棒内部木棍与顺序无关，仅与长度有关，在枚举木棒中木棍选取时，需要按照组合类型枚举，而不是排列类型。传参下标 start，保证木棒内木棍下标递增
  • 如果当前木棍长度不能构成合法方案，拼接木棒失败，由于木棍从大到小排序，后面与其相同长度的木棍在当前木棒长度下也是无法构成合法方案的。
  • 如果木棒的第一个木棍都无法构成合法方案，则后续当前一定无法构成合法方案。
  • 如果木棒的最后一个木棍拼接失败，则后续一定无法构成合法方案。
  • 详细证明看下面贴的手写笔记，配有图，方便理解。
• 优化3：可行性剪枝。木棒的长度一定是总木棍长度和的约数。
• 优化4：最优性剪枝。本题中不涉及。从小到大枚举木棒长度，第一次找到合法方案则说明是最短的木棒长度，即为答案。

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本题 dfs 剪枝的思维难度很高，尤其针对优化 2 中的后面两种木棒第一个木棍、木棒最后一个木棍的证明都比较绕。

为什么不是第二个、倒数第二个？ 是因为第二个、倒数第二个不具备第一个和倒数第一个的好性质：

• 如果第一个木棍 x 作为木棒 A 的开头失败，但是由于是按照木棒长度从大到小枚举的。如果整个方案能成功，那势必 x 会成为某个木棒 B 的开头。我们只需要将木棒 B 当做木棒 A，此时木棍 x 做开头还成功了，则发生矛盾。
• 而第二个木棍没有最大、次大这样的性质了。
• 如果倒数第二个木棍在木棒 A 中失败了，记为 x，但最终方案成功。那么在木棒 A 中倒数第二个木棍和最后一个木棍那合并起来的一段，会被好几个小木棍拼接代替，是无法将 x 等效替换到原来失败的木棒 A 的倒数第二的位置上去了。
• 而倒数第一的木棍 x 失败了，那也是一堆小木棍占了 x 的位置，将这些小木棍和 x 替换位置即可产生矛盾。而倒数第二的木棍失败却没有这样的性质。

手写笔记，比较潦草，配有图片和证明，搭配起来看。

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本题的思维难度高，剪枝方案十分经典，抓住主要特性来疯狂优化，很综合，是个好题！

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时间复杂度：$O(指数级)$

空间复杂度：$O(n)$

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#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 69;

int n;
int w[N], sum, length;      // 各木棍长度，木棍总长，木棒长度
bool st[N];

// 当前枚举的木棒数量，当前木棒长度，组合类型枚举开始的位置
bool dfs(int u, int s, int  start) {
    if (u * length == sum) return true;
    if (s == length) return dfs(u + 1, 0, 0);
    
    // 剪枝，组合类型枚举，i 从 start 开始枚举
    for (int i = start; i < n; i ++ ) {
        if (st[i]) continue;
        // 剪枝，可行性剪枝
        if (s + w[i] > length) continue;
        
        st[i] = true;
        if (dfs(u, s + w[i], i + 1)) return true;
        st[i] = false;
        
        // 剪枝，如果失败了，且是木棒的第一根木棍失败的话，则整个方案失败
        if (!s) return false;
        
        // 剪枝，如果失败了，且是木棒的最后一根木棍失败的话，则整个方案失败
        if (s + w[i] == length) return false;
        
        // 剪枝，若 i 木棍失败，跳过后面长度相同的木棍
        int j = i;
        while (j < n && w[j] == w[i]) j ++ ;
        i = j - 1;
    }
    
    return false;
}

int main() {
    while (scanf("%d", &n), n) {
        memset(st, 0, sizeof st);
        sum = 0;
        
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", w + i), sum += w[i];
        
        // 剪枝，优化搜索顺序
        sort(w, w + n, greater<int>());
        
        length = 1;
        while (true) {
            // 剪枝，木棒长度一定是木棍总长的约数
            if (sum % length == 0 && dfs(0, 0, 0)) {
                printf("%d\n", length);
                break;
            } 
            
            length ++ ;
        }
    }
    
    return 0;
}