[嵌入式专栏](FOC - SVPWM扇区计算Part1)

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【极客技术传送门】 : https://blog.csdn.net/Engineer_LU/article/details/135149485

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1 . 概要

经过扇区判断后，就知道在哪个扇区进行输出了
【Q】但是每个扇区分别输出怎样的结果呢？
【A】这篇博文详述了这个意义

2 . 扇区计算

这里一开始先把六个扇区的TxTy结果列出来，方便看到文章开头记住扇区关系，后面内容对每个扇区有 详细推导过程

扇区	Tx	Ty
Ⅰ	$\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}(\frac{\sqrt{3}}{2}{U}_{\alpha }-\frac{1}{2}U\beta )$	$\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}U\beta$
Ⅱ	$\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}(-\frac{\sqrt{3}}{2}{U}_{\alpha }+\frac{1}{2}U\beta )$	$\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}(\frac{\sqrt{3}}{2}{U}_{\alpha }+\frac{1}{2}U\beta )$
Ⅲ	$\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}U\beta$	$-\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}(\frac{\sqrt{3}}{2}{U}_{\alpha }+\frac{1}{2}U\beta )$
Ⅳ	$-\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}U\beta$	$\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}(-\frac{\sqrt{3}}{2}{U}_{\alpha }+\frac{1}{2}U\beta )$
Ⅴ	$-\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}(\frac{\sqrt{3}}{2}{U}_{\alpha }+\frac{1}{2}U\beta )$	$-\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}(-\frac{\sqrt{3}}{2}{U}_{\alpha }+\frac{1}{2}U\beta )$
Ⅵ	$\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}(\frac{\sqrt{3}}{2}{U}_{\alpha }+\frac{1}{2}U\beta )$	$-\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}U\beta$

>这里讲一下扇区计算的概念
【Q】前面计算了许多步骤最终把UαUβ送进SVPWM，那么怎么把UαUβ与SVPWM产生关联？
【A】答案是基于之前相电压合成关系代入
$U_{\alpha }=U_{m}cos\theta$
$U_{\beta }=U_{m}sin\theta$
而$U_m=\frac{2}{3}{U}_{dc}$, 为什么是$\frac{2}{3}{U}_{dc}$因为在SVPWM控制中，硬件的三组开关管里每一组时时刻刻都在开关状态，而形成回路中最多两路进，一路出，因此同一时刻相对$U_{dc}$最多用到了$\frac{2}{3}$

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接下来如上图矢量圆所示，扇区Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ, Ⅴ, Ⅵ,矢量分别为U4 (100)，U6 (110)，U2 (010)，U3 (011)，U1 (001)，U5 (101)
另外图中的α和β就是上述描述的UαUβ。

我们想要在这个 矢量圆 里输出N个不同大小，方向的矢量从而来控制电机力矩，但是我们只有六个基本矢量U4-U6-U2-U3-U1-U5，那怎么输出我们想要的矢量？这里我们只要基于六个基本矢量进行合成就可以了，具体根据每个扇区相邻的两个基本矢量进行合成，以下开始对每个扇区计算合成矢量。

这里以扇区一举例，如图所示把合成的矢量U设为$U_{out}$目标矢量，之前提到了
$U_{\alpha }=U_{m}cos\theta$
$U_{\beta }=U_{m}sin\theta$
那么这里的$Um$就是我们$U_{ref}$了

【Q】接下来分析$U_{m}cos\theta =$？$U_{m}sin\theta =$？
【A】根据上图标注 ：

1. $U_{m}cos\theta$ 为 红线1+红线2，其中红线1可以由U4这个矢量得到，红线2为U6经过cos60°可以得到，这里为什么要分为红线1与红线2，直接cosθ不就可以直接由U4矢量输出完成了吗，答案是因为要考虑后面$U_{m}sin\theta$的计算，$U_{m}sin\theta$以图中加辅助线，可以通过sin60°U6得到$U_{m}sin\theta$的结果。

2. $U_{m}sin\theta$ 为 绿线，刚刚描述了这些线段的意义，以及图中加辅助线的意义，因此通过sin60°U6可以得到$U_{m}sin\theta$的结果。

【Q】我们芯片可以输出PWM高分辨率控制开关管，那么怎么把PWM与上面的公式逻辑结合起来？
【A】上面可以100, 110, 010, 011, 001, 101这六个组合分别对应了三组开关管的状态，“1”为上管开启，下管关闭，“0”为下管开启，上管关闭，上下管为互补状态，一个总周期 $T_s=T_x+T_y+T_n$ 组成，这里$T_x{T}_y$为对应矢量状态PWM输出，$Tn$为不输出的周期，既然TxTy跟基本矢量产生联系，而UαUβ也跟基本矢量产生联系，那么TxTy就能跟UαUβ产生联系，这里也正式进入了SVPWM的计算联系点，接下来把六个矢量状态列出对应PWM(Tx,Ty)对应关系，这里的关系是人为设定的。

Tx	Ty
U4(100)	U6(110)
U2(010)	U3(011)
U1(001)	U5(101)

【Q】矢量的大小怎么确定？
【A】芯片输出的PWM来控制这些状态的占空比就可以实现矢量中的大小

【Q】矢量的方向怎么确定？
【A】这时候就要结合两个矢量的大小来“拉动”输出目标矢量，就像拔河比赛一样，两边谁拉的力多一点，绳子中间就往哪边靠，这里的 “绳子中间“ 就是 矢量合成

搞懂以上逻辑后，就可以计算出 目标矢量 了，而SVPWM之所以成为SVPWM就是因为芯片输出PWM来控制基本矢量状态，从而合成出“空间目标矢量$U_{out}$”。

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2.1 扇区Ⅰ计算

根据上图解析出以下公式 ：

$U_{\alpha }=U_{out}cos\theta =\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_x}{T_s}+\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_y}{T_s}\ast cos60°$

$U_{\beta }=U_{out}sin\theta =\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_y}{T_s}\ast sin60°$

可以看出Uα有涉及了Tx与Ty，而Uβ只有Ty，因此我们先求解Uβ中的Ty再代入Uα从而把Tx也求解出来

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1. 解析扇区Ⅰ的$T_y$

$U_{\beta }=U_{out}sin\theta =\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_y}{T_s}\ast sin60°$

$U_{\beta }=\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_y}{T_s}\ast \frac{\sqrt{3}}{2}$

$U_{\beta }=\frac{\sqrt{3}}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_y}{T_s}$

$U_{\beta }=\frac{1}{\sqrt{3}}{U}_{dc}\ast \frac{T_y}{T_s}$

$T_y=\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}{U}_{\beta }$

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2. 解析扇区Ⅰ的$T_x$

$U_{\alpha }=U_{out}cos\theta =\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_x}{T_s}+\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_y}{T_s}\ast cos60°$

$U_{\alpha }=\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_x}{T_s}+\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_y}{T_s}\ast \frac{1}{2}$

$U_{\alpha }=\frac{2}{3}{U}_{dc}\frac{1}{T_s}(T_x+T_y\frac{1}{2})$

$T_x=\frac{U_{\alpha }{T}_s}{U_{dc}}\frac{3}{2}-T_y\frac{1}{2}$

$T_x=\frac{U_{\alpha }{T}_s}{U_{dc}}\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}{U}_{\beta }\frac{1}{2}$

$T_x=\frac{U_{\alpha }{T}_{s}3-\sqrt{3}{T}_s{U}_{\beta }}{U_{dc}2}$

$T_x=\frac{\sqrt{3}{T}_s(U_{\alpha }\sqrt{3}-U_{\beta })}{U_{dc}2}$

$T_x=\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}(\frac{\sqrt{3}}{2}{U}_{\alpha }-\frac{1}{2}{U}_{\beta })$

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2.2 扇区Ⅱ计算

根据上图解析出以下公式 ：

$U_{out}cos(\theta -60°)=\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_y}{T_s}+\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_x}{T_s}\ast cos60°$

$U_{out}sin(\theta -60°)=\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_x}{T_s}\ast sin60°$

可以看出Uα有涉及了Tx与Ty，而Uβ只有Tx，因此我们先求解Uβ中的Tx再代入Uα从而把Ty也求解出来
【Q】这里为什么是$\theta -60°$？
【A】因为第二扇区的范围是60-120°，我们计算第二扇区需要偏移60°,从而映射0-60°，从而对应 $U_{\alpha }=U_{out}cos\theta$ 和 $U_{\beta }=U_{out}sin\theta$

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1. 解析扇区Ⅱ的$T_x$

$U_{out}sin(\theta -60°)=\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_x}{T_s}\ast sin60°$

$U_{out}sin(\theta -60°)=\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_x}{T_s}\ast \frac{\sqrt{3}}{2}$

$U_{out}sin(\theta -60°)=\frac{1}{\sqrt{3}}{U}_{dc}\ast \frac{T_x}{T_s}$

$U_{out}sin(\theta -60°)=\frac{1}{\sqrt{3}}{U}_{dc}\ast \frac{T_x}{T_s}$

$T_x=\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}{U}_{out}sin(\theta -60°)$

$T_x=\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}{U}_{out}(sin\theta cos60°-cos\theta sin60°)$

$T_x=\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}{U}_{out}(\frac{1}{2}sin\theta -\frac{\sqrt{3}}{2}cos\theta )$

$T_x=\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}(-\frac{\sqrt{3}}{2}{U}_{\alpha }+\frac{1}{2}{U}_{\beta })$

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2. 解析扇区Ⅱ的$T_y$

$U_{out}cos(\theta -60°)=\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_y}{T_s}+\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_x}{T_s}\ast cos60°$

$U_{out}cos(\theta -60°)=\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_y}{T_s}+\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_x}{T_s}\ast \frac{1}{2}$

$U_{out}cos(\theta -60°)=\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_y}{T_s}+\frac{1}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_x}{T_s}$

$U_{out}cos(\theta -60°)=\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_y}{T_s}+\frac{1}{3}{U}_{dc}\ast \frac{\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}(-\frac{\sqrt{3}}{2}{U}_{\alpha }+\frac{1}{2}{U}_{\beta })}{T_s}$

$U_{out}cos(\theta -60°)=\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_y}{T_s}-\frac{\sqrt{3}}{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2}{U}_{\alpha }+\frac{1}{2}{U}_{\beta })$

$T_y=\frac{U_{out}(cos\theta cos60°+sin\theta sin60°)-\frac{\sqrt{3}}{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2}{U}_{\alpha }+\frac{1}{2}{U}_{\beta })}{\frac{2}{3}{U}_{dc}}{T}_s$

$T_y=\frac{U\alpha \frac{1}{2}+U\beta \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}{U}_{\alpha }-\frac{\sqrt{3}}{6}{U}_{\beta }}{\frac{2}{3}{U}_{dc}}{T}_s$

$T_y=\frac{U\alpha +U\beta \frac{2\sqrt{3}}{6}}{\frac{2}{3}{U}_{dc}}{T}_s$

$T_y=\frac{3U\alpha +\sqrt{3}U\beta }{2U_{dc}}{T}_s$

$T_x=\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}(\frac{\sqrt{3}}{2}{U}_{\alpha }+\frac{1}{2}{U}_{\beta })$

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2.3 扇区Ⅲ计算

根据上图解析出以下公式 ：

$U_{out}cos(\theta -120°)=\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_x}{T_s}+\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_y}{T_s}\ast cos60°$

$U_{out}sin(\theta -120°)=\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_y}{T_s}\ast sin60°$

可以看出Uα有涉及了Tx与Ty，而Uβ只有Ty，因此我们先求解Uβ中的Ty再代入Uα从而把Tx也求解出来
【Q】这里为什么是$\theta -120°$？
【A】因为第二扇区的范围是120-180°，我们计算第二扇区需要偏移120°,从而映射0-60°，从而对应 $U_{\alpha }=U_{out}cos\theta$ 和 $U_{\beta }=U_{out}sin\theta$

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1. 解析扇区Ⅲ的$T_y$

$U_{out}sin(\theta -120°)=\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_y}{T_s}\ast sin60°$

$U_{out}sin(\theta -120°)=\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_y}{T_s}\ast \frac{\sqrt{3}}{2}$

$U_{out}sin(\theta -120°)=\frac{1}{\sqrt{3}}{U}_{dc}\ast \frac{T_y}{T_s}$

$U_{out}sin(\theta -120°)=\frac{1}{\sqrt{3}}{U}_{dc}\ast \frac{T_y}{T_s}$

$T_y=\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}{U}_{out}sin(\theta -120°)$

$T_y=\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}{U}_{out}(sin\theta cos120°-cos\theta sin120°)$

$T_y=\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}{U}_{out}(-\frac{1}{2}sin\theta -\frac{\sqrt{3}}{2}cos\theta )$

$T_y=-\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}(\frac{\sqrt{3}}{2}{U}_{\alpha }+\frac{1}{2}{U}_{\beta })$

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2. 解析扇区Ⅲ的$T_x$

$U_{out}cos(\theta -120°)=\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_x}{T_s}+\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_y}{T_s}\ast cos60°$

$U_{out}cos(\theta -120°)=\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_x}{T_s}+\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_y}{T_s}\ast \frac{1}{2}$

$U_{out}cos(\theta -120°)=\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_x}{T_s}+\frac{1}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_y}{T_s}$

$U_{out}cos(\theta -120°)=\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{Tx}{T_s}+\frac{1}{3}{U}_{dc}\ast \frac{-\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}(\frac{\sqrt{3}}{2}{U}_{\alpha }+\frac{1}{2}{U}_{\beta })}{T_s}$

$U_{out}cos(\theta -120°)=\frac{2}{3}{U}_{dc}\ast \frac{T_x}{T_s}-\frac{\sqrt{3}}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}{U}_{\alpha }+\frac{1}{2}{U}_{\beta })$

$T_x=\frac{U_{out}(cos\theta cos120°+sin\theta sin120°)+\frac{\sqrt{3}}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}{U}_{\alpha }+\frac{1}{2}{U}_{\beta })}{\frac{2}{3}{U}_{dc}}{T}_s$

$T_x=\frac{-\frac{1}{2}U\alpha +\frac{\sqrt{3}}{2}U\beta +\frac{1}{2}{U}_{\alpha }+\frac{\sqrt{3}}{6}{U}_{\beta }}{\frac{2}{3}{U}_{dc}}{T}_s$

$T_x=\frac{U\beta \frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}{U}_{dc}}{T}_s$

$T_x=\frac{\sqrt{3}{T}_s}{U_{dc}}U\beta$

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由于手敲公式占了太多字数空间，超出编辑字数，因此扇区计算分为两篇，扇区4,5,6计算可通过下方链接进入

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3 . 小结

计算出了SVPWM每个扇区的Tx与Ty就可以进行扇区输出了，下一篇讲解扇区输出调整，谢谢观看。

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