O(logn)求Fibonacci数列

题目：定义Fibonacci数列如下：

        /  0                      n=0
f(n)=      1                      n=1
        \  f(n-1)+f(n-2)          n=2

输入n，用最快的方法求该数列的第n项。

分析：在很多C语言教科书中讲到递归函数的时候，都会用Fibonacci作为例子。因此很多程序员对这道题的递归解法非常熟悉，看到题目就能写出如下的递归求解的代码。

 

 1 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////

 2 // Calculate the nth item of Fibonacci Series recursively

 3 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////

 4 long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n)

 5 {

 6       int result[2] = {0, 1};

 7       if(n < 2)

 8             return result[n];

 9 

10       return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);

11 }

 

但是，教科书上反复用这个题目来讲解递归函数，并不能说明递归解法最适合这道题目。我们以求解f(10)作为例子来分析递归求解的过程。要求得f(10)，需要求得f(9)和f(8)。同样，要求得f(9)，要先求得f(8)和f(7)……我们用树形结构来表示这种依赖关系

                  f(10)
               /        \
            f(9)         f(8)
          /     \       /    \
       f(8)     f(7)  f(7)   f(6)
      /   \     /   \ 
   f(7)  f(6)  f(6) f(5)

我们不难发现在这棵树中有很多结点会重复的，而且重复的结点数会随着n的增大而急剧增加。这意味这计算量会随着n的增大而急剧增大。事实上，用递归方法计算的时间复杂度是以n的指数的方式递增的。大家可以求Fibonacci的第100项试试，感受一下这样递归会慢到什么程度。在我的机器上，连续运行了一个多小时也没有出来结果。

其实改进的方法并不复杂。上述方法之所以慢是因为重复的计算太多，只要避免重复计算就行了。比如我们可以把已经得到的数列中间项保存起来，如果下次需要计算的时候我们先查找一下，如果前面已经计算过了就不用再次计算了。

更简单的办法是从下往上计算，首先根据f(0)和f(1)算出f(2)，在根据f(1)和f(2)算出f(3)……依此类推就可以算出第n项了。很容易理解，这种思路的时间复杂度是O(n)。

 

 1 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////

 2 // Calculate the nth item of Fibonacci Series iteratively

 3 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////

 4 long long Fibonacci_Solution2(unsigned n)

 5 {

 6       int result[2] = {0, 1};

 7       if(n < 2)

 8             return result[n];

 9 

10       long long  fibNMinusOne = 1;

11       long long  fibNMinusTwo = 0;

12       long long  fibN = 0;

13       for(unsigned int i = 2; i <= n; ++ i)

14       {

15             fibN = fibNMinusOne + fibNMinusTwo;

16 

17             fibNMinusTwo = fibNMinusOne;

18             fibNMinusOne = fibN;

19       }

20 

21        return fibN;

22 }

 

这还不是最快的方法。下面介绍一种时间复杂度是O(logn)的方法。在介绍这种方法之前，先介绍一个数学公式：

{f(n), f(n-1), f(n-1), f(n-2)} ={1, 1, 1,0}^n-1

(注：{f(n+1), f(n), f(n), f(n-1)}表示一个矩阵。在矩阵中第一行第一列是f(n+1)，第一行第二列是f(n)，第二行第一列是f(n)，第二行第二列是f(n-1)。)

有了这个公式，要求得f(n)，我们只需要求得矩阵{1, 1, 1,0}的n-1次方，因为矩阵{1, 1, 1,0}的n-1次方的结果的第一行第一列就是f(n)。这个数学公式用数学归纳法不难证明。感兴趣的朋友不妨自己证明一下。

现在的问题转换为求矩阵{1, 1, 1, 0}的乘方。如果简单第从0开始循环，n次方将需要n次运算，并不比前面的方法要快。但我们可以考虑乘方的如下性质：

        /  a^n/2*a^n/2                      n为偶数时
aⁿ=
        \  a(^n-1)/2*a^(n-1)/2            n为奇数时

要求得n次方，我们先求得n/2次方，再把n/2的结果平方一下。如果把求n次方的问题看成一个大问题，把求n/2看成一个较小的问题。这种把大问题分解成一个或多个小问题的思路我们称之为分治法。这样求n次方就只需要logn次运算了。

实现这种方式时，首先需要定义一个2×2的矩阵，并且定义好矩阵的乘法以及乘方运算。当这些运算定义好了之后，剩下的事情就变得非常简单。完整的实现代码如下所示。

 

 1 #include <cassert>

 2 

 3 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////

 4 // A 2 by 2 matrix

 5 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////

 6 struct Matrix2By2

 7 {

 8       Matrix2By2

 9       (

10             long long m00 = 0, 

11             long long m01 = 0, 

12             long long m10 = 0, 

13             long long m11 = 0

14       )

15       :m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11) 

16       {

17       }

18 

19       long long m_00;

20       long long m_01;

21       long long m_10;

22       long long m_11;

23 };

24 

25 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////

26 // Multiply two matrices

27 // Input: matrix1 - the first matrix

28 //        matrix2 - the second matrix

29 //Output: the production of two matrices

30 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////

31 Matrix2By2 MatrixMultiply

32 (

33       const Matrix2By2& matrix1, 

34       const Matrix2By2& matrix2

35 )

36 {

37       return Matrix2By2(

38             matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,

39             matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,

40             matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,

41             matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);

42 }

43 

44 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////

45 // The nth power of matrix 

46 // 1  1

47 // 1  0

48 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////

49 Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)

50 {

51       assert(n > 0);

52 

53       Matrix2By2 matrix;

54       if(n == 1)

55       {

56             matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);

57       }

58       else if(n % 2 == 0)

59       {

60             matrix = MatrixPower(n / 2);

61             matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);

62       }

63       else if(n % 2 == 1)

64       {

65             matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);

66             matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);

67             matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));

68       }

69 

70       return matrix;

71 }

72 

73 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////

74 // Calculate the nth item of Fibonacci Series using devide and conquer

75 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////

76 long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n)

77 {

78       int result[2] = {0, 1};

79       if(n < 2)

80             return result[n];

81 

82       Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);

83       return PowerNMinus2.m_00;

84 }

 

以上转自何海涛博客

//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

《编程之美》2.9节里面有裴波那契数列的各种解法分析，其中关于O(logn)有循环解法，借用一下上面的数据结构和函数，代码如下

 

 1 struct Matrix2By2

 2 {

 3     Matrix2By2

 4         (

 5         long long m00 = 0, 

 6         long long m01 = 0, 

 7         long long m10 = 0, 

 8         long long m11 = 0

 9         )

10         :m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11) 

11     {

12     }

13 

14     long long m_00;

15     long long m_01;

16     long long m_10;

17     long long m_11;

18 };

19 

20 Matrix2By2 MatrixMultiply

21     (

22     const Matrix2By2& matrix1, 

23     const Matrix2By2& matrix2

24     )

25 {

26     return Matrix2By2(

27         matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,

28         matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,

29         matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,

30         matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);

31 }

32 

33 Matrix2By2 MatrixPow(const Matrix2By2& m, int n)

34 {

35     Matrix2By2 result = Matrix2By2(1, 0, 0, 1);//identity matrix

36 

37     Matrix2By2 tmp = m;

38 

39     for(;n;n>>1)

40     {

41         if (n&1)

42         {

43             result = MatrixMultiply(result,tmp);

44         }

45 

46         tmp = MatrixMultiply(tmp,tmp);

47     }

48 

49     return result;

50 }