本章主要围绕以下几个问题展开:
1、什么是李群和李代数
2、李群和李代数的关系
3、怎么对李代数进行求导
接下来我们分别对这几个主题作阐述。

1、什么是李群和李代数

李群首先是一个群，是由一种集合加上一种运算的代数结构。

1.1群

群可以记为：G=
满足以下四个条件的即为群
1.封闭性:
2.结合律:
3.幺元:
4.逆:
可以几位“封结幺逆”（封结妖孽）

1.2李群

具有光滑性质的就称为李群

1.3李代数

1.3.1李代数的引出

对于正交群S0(3),即所谓的旋转矩阵，有如下性质:

由于R表示的是某个相机的旋转，所以R是随着时间变动的，因此（1）式可以写为

对矩阵求导：

整理得

这是一个反对称矩阵，因此可以与一个向量对应：

两边同时右乘,有

这是一个矩阵微分方程组，令初始条件,根据矩阵分析知识：

微分方程解定理

解得

其中，是时取到的，由上面的推导可以看到，一个对应一个，就是上的李代数

1.3.2李代数的定义

每个李群都有与之对应的李代数。李代数描述了李群的局部性质。通用的李代数定义如下：
李代数由一个集合,一个数域和一个二元运算组成,如果它们满足以下几条性质，则称为一个李代数，记作。
1.封闭性.
2.双线性
3.自反性
4.雅可比性,可看作旋转对换。
记忆：饱经风霜，独自优雅

1.3.3李代数

之前提到的事实上是一种李代数。SO(3)对应的李代数是定义在上的向量，我们记作.根据前面的推导，每个都可以生成一个反对称矩阵：

在此定义下，两个向量。

1.3.4李代数

对于，它也有对应的李代数。为了节省篇幅，这里就不介绍如何引出了。与相似，位于空间中：
$\mathfrak {se} (3) =\left\{ \xi = \begin {bmatrix} \rho \\ \phi \end {bmatrix} \in \mathbb R ^ 6 , \rho \in \mathbb R ^ 3 , \phi \in \mathfrak {so} (3) , \xi ^ {\land} = \begin {bmatrix} \phi^{\land} & \rho \\ 0^T & 0 \end {bmatrix} \in \mathbb R ^ {4 \times 4} \right \}$
我们把每个元素记作；它是一个六维向量。前三维为平移，记作后三维为旋转，记作,实质上是元素。同时我们扩展了符号的意义，将六维向量转换成四维矩阵，但这里不再表示反对称：

我们可以把理解成“由一个平移加上一个元素构成的向量”。同样，李代数也有类似于的李括号:

2、李群和李代数的关系

上一节中我们了解了什么是李代数，现在要了解李代数和李群的关系。

2.1由李代数到李群：指数映射

由上一节的内容我们可以看到，在给定t的情况下，公式
描述了如何由变换到R，但是如何计算又成了问题。为了计算，我们首先提出三个公式：
对于一个矩阵A：

任意是一个三维向量，我们可以定义它的模长和方向，分别记作和,对于

有了以上三个方程，我们有：
,这其实就是罗德里格斯公式

2.2由李群到李代数：对数映射以及特征方程

由公式2.0自然可以想到，李群到李代数的转换可以通过对数运算做到。于是有

但是，我们通常不用泰勒展开去计算对数映射。
由公式2.0，对两边同时取迹（trace），有:

因此

关于转轴a，由于旋转轴上的向量在旋转后不发生改变，说明

2.3上的指数映射与对数映射

设矩阵
上的指数映射如下：
$exp(\xi ^ \land) = \begin{bmatrix} \sum _ {n=0} ^ \infty {1 \over {n!}} (\phi ^ \land ) & \sum _ {n=0} ^ \infty {1 \over {(n+1)!}} (\phi ^ \land ) ^ n \rho \\ 0 ^ T & 1 \end{bmatrix} \triangleq \begin{bmatrix} R & J \rho \\ 0 ^ T & 1\end{bmatrix} = T$
对于矩阵,我们也可以用上一节的内容求得：

这样我们就结局的了如何从到的问题，李群到李代数和上节的内容有相似之处，旋转矩阵计算旋转向量，满足：

李群李代数的关系

3.对李代数求导

使用李代数的动机是优化，而在优化过程中的导数是非常必要的信息。我们已经了解了李群和李代数的关系，但是，当中完成矩阵乘法时，李代数中的发生了什么变化呢，反过来说，当上做两个李代数的加法时，上是否对应着两个矩阵的乘积？很遗憾，李群的矩阵乘法和李代数的加法没有直接对应关系。由BCH公式，可以近似地得到对应关系

3.1李群乘法和李代数加法的对应关系

雅可比矩阵：并且
乘法
和加法

3.2李代数求导

使用李代数解决求导问题的思路分为两种：
1.用李代数表示姿态，然后根据李代数加法来对李代数求导
2.对李群左乘或者右乘微小扰动，然后对扰动求导，称为左扰动和右扰动模型

3.2.1利用李代数加法来对李代数求导

由于李群没有加法，所以不能在李群上直接求导，我们转而去求李代数的导数。

李代数求导

不过这里的比较复杂，我们不希望计算它。

3.2.2扰动模型（左乘）

另一种求导方式，是对进行一次扰动。这个扰动可以乘在左边也可以乘在右边，最后结果会有一点微小的差异。

扰动模型

2021-08-11十四讲第四章——李群李代数