Matlab中偏微分方程工具箱基础用法

Preface： 

        本文主要介绍Matlab R2022b版本中偏微分方程工具箱的基础用法，是个人学习时写的入门笔记（学的非常浅），内容主要包括以下几方面：

1.Matlab中偏微分方程工具箱简介。

2.双曲线型PDE，生成动画。

3.椭圆形非线性PDE，参数为函数，应用非线性解法。

4.椭圆形线性PDE，用实际物理问题模板，解热传导方程。

5.椭圆形线性PDE，正常解法，画图。

6.抛物线型PDE，正常解，热传导问题，生成动画。

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一.工具箱介绍

1.简介

        MATLAB中的PDE工具箱具有强大功能，用于解决偏微分方程和边界值问题。它是MATLAB的一个附加组件，为工程师、科学家和数学家提供了一个方便的方式来建模、分析和解决各种PDE问题。下面是PDE工具箱的一些主要功能和特点：

• 图形用户界面（GUI）： PDE工具箱提供了一个直观的GUI，称为PDE工具，用于建立和编辑PDE模型。这个GUI使用户能够轻松地定义几何形状、设置边界条件和初始化条件，以及选择求解器。

• 支持多种PDE类型： PDE工具箱支持各种PDE类型，包括椭圆型、抛物型和双曲型PDE。用户可以选择适合其特定问题的PDE类型，并进行相应的分析和求解。

• 自定义几何形状： 用户可以使用PDE工具箱创建自定义的几何形状，以反映其实际问题。这使得模拟各种真实世界应用变得更加容易。

• 边界条件设置： 工具箱允许用户指定各种边界条件，包括固定值、导数值和自定义函数，以模拟问题的真实边界条件。

• 初始条件设置： 用户可以设置初始条件，以定义问题的初始状态。这对于时间依赖的问题非常重要。

• 求解器选择： PDE工具箱提供了多种求解器选项，用户可以选择合适的求解器来解决其问题。这些求解器包括有限元法、有限差分法等。

• 结果可视化： 工具箱提供了丰富的结果可视化功能，用户可以轻松地查看模拟结果，包括温度分布、应力分布等等。

• 脚本支持： 对于高级用户，PDE工具箱也支持MATLAB脚本，使他们能够更精细地控制问题的建模和求解过程。

• 应用领域广泛： PDE工具箱可用于多个领域，包括物理学、工程学、生物医学等等，用于解决各种PDE问题。

2.基础操作

• 区域绘制：打开Options-grid网格，设置Axes limits边界，Axes equal边界等宽（不设鼠标右键画圆可能不标准），Draw mode，绘制完，进行交并补运算，交并用括号分开，Boundary mode，Remove all subdomain Borders去除多余部分。

绘制求解区域

求解区域边线

•  点击 生成网格，网格越密越精准：

生成网格

•  配置边界条件：

         说明：Dirichlet边界一般h=1，r可为x、u的函数或者偏导。Hyperbolic是双曲型，parabolic是抛物线型。div是一阶偏导。PDE默认时间向量是t=0:10，后面生成pde输出随时间变化的gif时用到。

• UI工具：工具箱上方的 为绘制多边形，右键封口。 为边界模式。为集合运算 。

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二.PDE TOOL解二阶PDE示例

1.双曲型PDE，u对t二阶导，参数全为实数：

• 边界条件：边界上所有u为5，求解区域同上面的基础操作中绘制的区域。

• 对比上面的双曲型标准PDE得出4个参数，点 配置偏微分方程：

• 修改边界条件：

• 边界上u都是5，在Dirichlet里令r为5，点 得出t=10时刻的解：

•         点 设置出图选项：

Contour：等值线

Arrows：引力线

Height(3D)：绘制3D图

Animation：绘制动画，options里设置重复和帧率

Colormap：设置解的图形颜色

Time for plot：出图时刻

• 等值线：t=10

• 

  引力线：t=10

• 3D：t=10，下图分别为有颜色与无颜色：

•  改变t=5，Time for plot选5

• 因为方程是u对x，y，t的函数，方程的解应为动画。

• 

  点Solve里的parameters设置时间向量：0:0.1:4。回Plot Selection设置帧率和重复次数。

•  横纵坐标代表x，y，颜色深浅代表u，u相当于z轴垂直于平面，在不同位置不同时间u不同。

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2.非线性椭圆形PDE，u对t不求导，参数为函数

• 边界为0，区域如和刚才一样。

1. 首先配置PDE，对比标准型得到3个参数：

c=1./sqrt(1+ux.^2+uy.^2),a=x.^2+y.^2,

f=exp(-x.^2-y.^2)

•  配置边界条件：Specify Boundary Conditions

•  观察方程：u只与x，y有关与t无关不用考虑时间变量，边界条件是边界为0所以用Dirichlet，本题椭圆形PDE为非线性。因为是非线性椭圆形PDE所以用非线性求解方法。在Solve Parameters里设置：(只适用椭圆形)

•  求解结果：

•  等值线：

•  引力线：

•  3D：

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 3.线性椭圆型PDE：热传导问题，u对t不求导，区域如前。

• 热传导系数：λ=30W/(m*K)
• 空气热对流系数：h=100W/K*m2
• 外界温度：Text=425K
• 法相热流密度：q0=1000W/s*m
• 内部热源：Q=0

 正常椭圆型PDE：

 因为本体为实际问题所以解法不同，前两道题都是普通PDE问题。

 首先在PDE工具箱上方选择问题类别：

 配置本题PDE：

 配置边界条件：本题为诺伊曼边界条件，将参数带入边界条件： ，简化： 对比诺尼曼边界条件标准型得：q=0，g=33.33

 求解结果：

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4.线性椭圆形Poisson PDE 边值问题

 精确解：  用PDE tool仿真。

• 绘制求解区域：先画一个圆然后双击修改参数

• 配置边界条件：因为是边值问题所以用Dirichlet

• 先点Boundary里Boundary Mode再点Specify配置

配置PDE：div=∆ ，对比参数得到c，a，f

• 网格化后求解：

•  等值线，引力线：

•  3D：

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5. 抛物线型热传导方程：u对t求一阶导

• 绘制正方形求解区域：先画一个矩形双击修改

•  Left是底边左端横坐标，Bottom是底边纵坐标，Width和Height对应宽高。设置坐标轴等宽，不然PDE tool显示与显示器分辨率有关看上去不像正方形。

• 配置PDE：对比得参数。

• 配置边界条件：边界上所有点值为φ(x,y) ，abs为绝对值

• 配置时间向量、初值IC：Solve里parameters后两项为公差和绝对公差。

• 网格化、求解PDE：

等值线：

 配置输出：

 配置动图格式：fps越高动画越快，10即可。

 Plot：

结论：初始条件不光滑但方程解可能是光滑的。

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实际物理问题MATLAB有现成模板可以选择：

Generic scalar：泛型标量   generic system：通用系统

Structural mesh，Plane stress：结构力学、平面应力

Structural mesh，Plane strain：平面应变（张力）

Electron statics：静电学   magnetostatics：静磁学

AC Power Electromagnetics：交流功率电磁学

Conductive Media DC：直流导电介质   Diffusion：扩散