蒙特卡罗法（Python实现）

Hello，大家好，我是茶哩，我们来学习一个有意思的算法，蒙特卡罗方法。

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简介

蒙特卡罗法（统计模拟方法）是通过从概率模型的随机抽样进行近似数值计算的方法。蒙特卡罗是一个赌场的名字，是一类基于概率的模型的统称。

工作原理

• 不断随机抽样
• 逐渐逼近结果

一般来说，采样越多，越近似最优解，而永远不是最优解。

基本步骤

蒙特卡罗算法的基本步骤

蒙特卡罗算法一般分为三个步骤，包括构造随机的概率的过程，从构造随机概率分布中抽样，求解估计量。

1 构造随机的概率过程
要求解一个确定性的问题，需要事先构造一个概率过程，将其转化为随机性问题，即随机点落在圆内的概率，而π就是所要求的解。

2 从已知概率分布抽样
由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量，就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段。如本例中采用的就是最简单、最基本的（0，1）上的均匀分布，而随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。

3 求解估计量
实现模拟实验后，要确定一个随机变量，作为所要求问题的解，即无偏估计。建立估计量，相当于对实验结果进行考察，从而得到问题的解。如求出的近似π就认为是一种无偏估计。

求圆周率π的python实例

将一个单位圆（1x1）放在一个正方形中，通过计算圆的面积和正方形的面积之比，进而得到圆周率。
向该正方形随机散点，则每个点落在单位圆上的概率为$\pi \ast 0.5^2$ /$1\ast 1$=0.25π，假设总散点数为S，落在圆内的点数为N。只要实验次数足够多，就越逼近近似值。
因此，当 S 足够大时，我们可以简单认为：0.25π = N/S ，即π = 4N/S

import numpy as np
import random 

S = [1e4,1e5,1e6,1e7]# 试验总次数
r = 0.5 #半径

for i in S:
    N = 0 # 落在圆内的试验点的个数
    for j in range(int(i)):
        x = random.random() # 获取0-1之间的随机数
        y = random.random() # 获取0-1之间的随机数
        d = np.sqrt((x-0.5)**2+(y-0.5)**2) # 计算试验点到圆心的欧式距离的平方
        if d<=r: # 通过比较试验点到圆心的欧式距离与圆半径的大小，判断该点是否在圆内
            N+=1
        else:
            pass
    PI = 4*N/i
    print("实验总次数：{}\tPI：{}".format(i,PI))

参考：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/150729238

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