MIT_线性代数笔记:第 19 讲 行列式公式和代数余子式

目录

  • 行列式公式 Formula for the determinant
  • 代数余子式 Cofactor formula

我们已经认识到了行列式的性质,应该推导出其公式了。

行列式公式 Formula for the determinant

行列式有如下三个性质:

  1. det( I )=1。
  2. 如果交换行列式的两行,则行列式的数值会反号。
  3. 行列式是“矩阵的行”的线性函数。
    从这三条性质可以推导出后续的七条性质,从这十个性质出发可以得到二阶方
    阵的行列式公式:
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    通过性质 3 对 n 阶矩阵的行列式进行拆分,我们可以得到所有只包含 n 个非零元素的行列式,对于二阶行列式我们从 1 个拆分为 2 个,然后拆分成 4 个。而对于三阶矩阵我们从 1 个拆分成 3 个,然后拆分成 9 个,最后要拆分成 27 个。但最终这些行列式中有很大一部分等于 0。
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    每一个拆分出来的非 0 行列式都是在每行每列都有且只有一个元素,就如同置换矩阵的元素分布。应用性质 3 可以将元素从行列式中提出来,而置换矩阵的行列式值为+1 或者-1,因此可以给出行列式的公式。n 阶拆分矩阵非 0 行列式的个数的计算方法就如同计算置换矩阵的个数一样,第一行放置一个非 0 元素的位置有 n 个选择,第二行为 n-1 个……。最后得到共 n!个矩阵。
    对于拆分得到的三阶矩阵,元素从上至下朝向右侧方向的,其行列式的数值为正,朝向左侧方向的则为负。但是这个规律只适用于三阶矩阵,不适用于高阶矩阵。
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    其中列标号(α, β, γ……ω)是列标号(1, 2, 3……n)的某个排列。比如说对于单位阵而言,只有α=1,β=2……ω=n 所得到的行列式为+1,其它都为零,所以单位阵的行列式为 1。
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    列标号取(4,3,2,1)得到第一个拆分行列式,符号为正,因为只要经过两次交换就能变为(1,2,3,4)。第二个为(3,2,1,4),因为只需交换一次就可变为正序,所以符号为负。因此本行列式为 0。

代数余子式 Cofactor formula

代数余子式是用较小的矩阵的行列式来写出 n 阶行列式的公式。
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将原公式中属于矩阵第一行的 a1j提出来,其系数即为代数余子式,是一个低阶行列式的值。这个低阶行列式是由原矩阵去掉 a1j所在的行和列组成的。
对矩阵中任意元素 aij而言,其代数余子式 Cij就是矩阵的行列式的公式中 aij的系数。Cij等于原矩阵移除第 i 行和第 j 列后剩余元素组成的 n-1 阶矩阵的行列式数值乘以(-1)i+j。(Cij在 i+j 为偶数时为正,奇数时为负数。)
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对于矩阵行列式的计算,消元的得到主元是一个很好的方法,与之相比行列式的展开公式较为复杂,而代数余子式的方法介于两者之间,它的核心想法是通过降阶来将原来的行列式展开成更简单的行列式。
举三对角阵(tridiagonal matrix)为例,它除了对角线和对角线两侧相邻的元素之外,其它元素均为 0。
例如由 1 组成的 4 阶三对角阵为
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从矩阵的特殊结构我们可以得到:
∣ A n ∣ = ∣ A n − 1 ∣ − ∣ A n − 2 ∣ \begin{vmatrix} A_n \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} A_{n-1} \end{vmatrix} -\begin{vmatrix} A_{n-2} \end{vmatrix} An = An1 An2
由 1 组成的 n 阶三对角阵的行列式从 1 阶开始按照 1,0,-1,-1,0,1 进行循环。

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