微分方程建模与求解

一、问题背景和实验目的

自牛顿发明微积分以来,实际应用问题通过数学建模所得到的方程,绝大多数是微分方程
由于实际应用的需要,但能够求得解析解的微分方程十分有限,绝大多数微分方程需要利用数值方法来近似求解。
本文章主要研究如何用 Matlab 来计算微分方程(组)的数值解。

二、五种常用方法

1.Euler折线法

基本思想:用差商代替微商
具体步骤 :分割求解区间,差商代替微商,解代数方程
话不多说,直接上例子:

微分方程建模与求解_第1张图片

MATLAB程序:
clear
f=sym('y+2*x/y^2');
a=0;  b=2;
h=0.4;
n=(b-a)/h+1; % n=(b-a)/h;
x=0;  y=1;
szj=[x,y];
for i=1:n-1  % i=1:n
    y=y+h*subs(f,{'x','y'},{x,y});
    x=x+h;
    szj=[szj;x,y];
end
szj
plot(szj(:,1),szj(:,2),'or-')

求出的解析解为:
微分方程建模与求解_第2张图片
微分方程建模与求解_第3张图片

2.Runge-Kutta (龙格-库塔) 法

在Euler折线法的基础上:为了减小误差,可采用以下方法:

  1. 让步长 h 取得更小一些;
  2. 改用具有较高精度的数值方法:Runge-Kutta (龙格-库塔) 方法

Runge-Kutta (龙格-库塔)是一类求解常微分方程的数值方法,有多种不同的迭代格式

用得较多的是 四阶R-K方法:
微分方程建模与求解_第4张图片

MATLAB程序:
clear;
f=sym('y+2*x/y^2');
a=0; b=2; h=0.4;
n=(b-a)/h+1; % n=(b-a)/h;
x=0; y=1;  
szj=[x,y];
for i=1:n-1  % i=1:n
    l1=subs(f,{'x','y'},{x,y});
    l2=subs(f,{'x','y'},{x+h/2,y+l1*h/2});
    l3=subs(f,{'x','y'},{x+h/2,y+l2*h/2});
    l4=subs(f,{'x','y'},{x+h,y+l3*h});
    y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6; 
    x=x+h;
    szj=[szj;x,y];
end
plot(szj(:,1),szj(:,2), 'dg-')

Euler 法与 R-K法误差比较:
微分方程建模与求解_第5张图片

3.欧拉公式

微分方程建模与求解_第6张图片

4.梯形方法

微分方程建模与求解_第7张图片

5.改进欧拉公式

微分方程建模与求解_第8张图片

三、关于Matlab 解初值的问题

1.背景

 对于许多实际问题,人们建立了相应的微分方程,并探讨了一些理论求解方法,并利用解来解释实际现象,对特定问题进行分析、控制等。 
但当前,理论成果主要体现在特定类型下的微分方程求解,多数情况下不能得到理论解(解析解)。 
对于一些复杂微分方程,即使是一阶的,求解也很困难,有时候得到的是隐式解,有时候无法得到解析解。 

当对于某些微分方程不能得到解析解时,人们一般去求微分方程的数值解

2.常用求解函数

dsolve 的使用:
y=dsolve(‘eq1’,‘eq2’, … ,‘cond1’,‘cond2’, … ,‘v’)
其中 y 为输出, eq1、eq2、…为微分方程,cond1、cond2、…为初值条件,v 为自变量。

几点说明:

  1. 微分方程中用 D 表示对 自变量 的导数,如:
    Dy -> y’ D2y -> y’’ D3y -> y’’’

  2. 如果省略初值条件,则表示求通解;
    如果省略自变量,则默认自变量为 t
    dsolve(‘Dy=2x’,‘x’); % dy/dx = 2x
    dsolve('Dy=2
    x’); % dy/dt = 2x
    若找不到解析解,则返回其积分形式。

[T,Y] = solver(odefun,tspan,y0)
其中 y0 为初值条件,tspan为求解区间;Matlab在数值求解时自动对求解区间进行分割,T (向量) 中返回的是分割点的值(自变量),Y (向量) 中返回的是解函数在这些分割点上的函数值。

solver 为Matlab的ODE求解器(可以是 ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb)
没有一种算法可以有效地解决所有的 ODE 问题,因此MATLAB 提供了多种ODE求解器,对于不同的ODE,可以调用不同的求解器。

3.求解器的选择

解析解:dsolve
求数值解: ode45、ode23、 ode113、ode23t、ode15s、ode23s、ode23tb
微分方程建模与求解_第9张图片

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