常微分方程的数值解-欧拉、四阶龙格-库塔法等C语言

*题目描述：*求常微分方程y’=y-2x/y && y(0)=1的数值解。解析解为：y=sqrt(1+2x)
编译环境vc++6.0：
代码如下：

/*
1、y'=y-2x/y && y(0)=1;
2、解析解为y=sqrt(1+2x)
*/

#include 
#include 
#define N 5                    //离散点个数,分别取5,8,10，对应步长0.2,0.125,0.1
#define low 0					//定义域x区间下限
#define high  1.0				//定义域x区间上限
#define h  (high-low)/N        //步长

/*************************4、解析解实现**********************/
double AnalyticalSolution(double x) {
	return sqrt(1 + 2 * x);
}

/*************************1、显示欧拉实现**********************/
double EulerMethod(double x)
{
	//若x==0
	if (fabs(x - low) < 1e-6)  //浮点数之间不能直接判断是否相等，则可以用 fabs(f1-f2)<=给定差值精度 来判断f1和f2是否相等
		return 1;				//f(low)== f(0)==1
	else return EulerMethod(x - h) + h * (EulerMethod(x - h) - (2 * (x - h) / EulerMethod(x - h)));
}

/*************************2、隐式欧拉实现**********************/
//隐式欧拉实现由下面两个函数组成
double ImplicitEulerMethod_1(double x)			/*隐示欧拉第一次迭代,
用显示欧拉计算f(x)的初值，带入隐式欧拉方程 f(x)=f(x-1)+h*(f(x)-2*x/f(x))*/
{
	if (fabs(x - low) < 1e-6)	//浮点数之间不能直接判断是否相等，则可以用 fabs(f1-f2)<=给定差值精度 来判断f1和f2是否相等
		return 1;
	else
		return ImplicitEulerMethod_1(x - h) + h * (EulerMethod(x) - 2 * x / EulerMethod(x));   //迭代
}

double ImplicitEulerMethod_2(double x)	/*隐示欧拉第2--n次迭代，
用第一次迭代的结果f(x)作为初值带入隐式欧拉方程进行第二次迭代，
第二次迭代的结果f(x)作为初值带入隐式欧拉方程进行第三次迭代.....
直到本次迭代的结果y1与上次的迭代结果y0，满足|y1-y0|<1e-6,则认为收敛
迭代结束
*/
{
	if (fabs(x - low) < 1e-6)  //浮点数之间不能直接判断是否相等，则可以用 fabs(f1-f2)<=给定差值精度 来判断f1和f2是否相等
		return 1;
	else {
		double y0 = ImplicitEulerMethod_1(x), y1 = ImplicitEulerMethod_1(x);		//将第一次迭代的结果作为初值带入第二次迭代
		do {
			y0 = y1;
			y1 = ImplicitEulerMethod_2(x - h) + h * (y0 - 2 * x / y0);
		} while (fabs(y1 - y0) < 1e-6);		//本次迭代结果减去上一次迭代结果fabs(y1-y0)<=1e-6  认为是收敛
		return y1;
	}
}
/*************************3、两步欧拉实现**********************/
double DoubleStepEuler(double x)			//两步欧拉
{
	if (fabs(x - low) < 1e-6)	//若x==0   第一个初值给定
		return 1;
	else if (fabs(x - low - h) < 1e-6)   //若x==low+h	 第二个初值用显示欧拉求出
		return EulerMethod(x);
	else return DoubleStepEuler(x - 2 * h) + 2 * h * (DoubleStepEuler(x - h) - 2 * (x - h) / DoubleStepEuler(x - h));
}



/*************************四阶龙格-库塔法**********************/
double C_R_K_M(double x)
{
	if (fabs(x - low) < 1e-6)	//若x==0   第一个初值给定
		return 1;
	else {
		double k1 = C_R_K_M(x - h) - 2 * (x - h) / C_R_K_M(x - h);
		double k2 = C_R_K_M(x - h) + h / 2.0 * k1 - (2 * (x - h) + h) / (C_R_K_M(x - h) + h / 2.0 * k1);
		double k3 = C_R_K_M(x - h) + h / 2.0 * k2 - (2 * (x - h) + h) / (C_R_K_M(x - h) + h / 2.0 * k2);
		double k4 = C_R_K_M(x - h) + h * k3  - (2 * (x - h) + h) / (C_R_K_M(x - h) + h  * k3);
		return C_R_K_M(x - h) + h / 6.0 * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4);
	}
}



/*************************4、格式化输出函数**********************/
void prit(double (*p)(double x))      
{
	int count=0;
	double i;
	for (i = low; high - i >0 ; i += h) {
		printf("y(%0.3lf)=%0.5lf\t", i, p(i));
		count++;
		if (count % 4 == 0)
			printf("\n");

	}
	printf("y(%0.3lf)=%0.5lf\t", i, p(i));		//high==i时
	printf("\n\n\n");
}


int main()
{
	printf("解析解格式化输出:\n");
	prit(AnalyticalSolution);
	
	printf("显示欧拉法格式化输出:\n");
	prit(EulerMethod);

	printf("隐示欧拉法格式化输出:\n");
	prit(ImplicitEulerMethod_2);
	
	printf("两步欧拉法格式化输出:\n");
	prit(DoubleStepEuler);
	
	printf("四阶龙格-库塔法格式化输出:\n");
	prit(C_R_K_M);
	return 0;
}

输出结果：