LeetCode 64. 最小路径和【c++/java详细题解】

1、题目

给定一个包含非负整数的 m x n网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明： 每次只能向下或者向右移动一步。

示例 1：

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

提示：

• m == grid.length
• n == grid[i].length
• 1 <= m, n <= 200
• 0 <= grid[i][j] <= 100

2、思路

(动态规划) $O(m\ast n)$

状态表示： f[i,j]表示从(0,0)走到(i,j)的最小路径和。那么，f[n-1][m-1]就表示从网格左上角到网格右下角的最小路径和，即为答案。

状态转移：

由于限制了只会向下走或者向右走，因此到达(i,j)有两条路径

• 从上方转移过来，f[i][j] = f[i-1][j] + grid[i][j]
• 从左方转移过来，f[i][j] = f[i][j-1] + grid[i][j]

因此，状态计算方程为： f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + grid[i][j]， 从向右和向下两条路径中选择路径之和最小的转移过来，再加上grid[i][j]的值。

初始化条件： f[0][0] = grid[0][0]， 其余都初始化为正无穷。

分析图示：

时间复杂度分析： $O(m\ast n)$，其中 $m$和 $n$分别是网格的行数和列数 。

3、c++代码

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int n = grid.size();
        int m = grid[0].size();
        vector<vector<int>> f(n, vector<int>(m, INT_MAX));
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
            for (int j = 0; j < m; j ++ ) {
                if (!i && !j) f[i][j] = grid[i][j]; //初始化 f[0][0] =  grid[0][0]
                else 
                {
                    if (i) f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j] + grid[i][j]);//如果可以从上方转移过来
                    if (j) f[i][j] = min(f[i][j], f[i][j - 1] + grid[i][j]);//如果可以从左方转移过来
                }
            }
        return f[n - 1][m - 1]; 
    }
};

4、java代码

class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        int n = grid.length;
        int m = grid[0].length;
        int[][] f = new int[n][m];
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
            for (int j = 0; j < m; j ++ ) {
                if (i == 0 && j == 0) f[i][j] = grid[i][j]; //初始化 f[0][0] =  grid[0][0]
                else 
                {
                    f[i][j] = 0x3f3f3f3f;
                    if (i > 0) f[i][j] = Math.min(f[i][j],f[i - 1][j] + grid[i][j]);//如果可以从上方转移过来
                    if (j > 0) f[i][j] = Math.min(f[i][j],f[i][j - 1] + grid[i][j]);//如果可以从左方转移过来
                }
            }
        return f[n - 1][m - 1]; 
    }
}

原题链接： 64. 最小路径和