决策树（decision tree）是一种基本的分类与回归方法。学习时，利用训练数据根据损失函数最小化的原则建立决策树模型；预测时，对新的数据，利用决策树模型进行分类。包括特征选择、决策树的生成、决策树的剪枝。
例题5.1
算法步骤：
输入：训练数据集D和特征集A
输出：特征A对训练数据集D的信息增益g(D,A)
步骤：
（1）计算数据集D的经验熵H（D）
image.png
（2）计算特征A对数据集D的经验条件熵H（D|A）
image.png
（3）计算信息增益
image.png
import numpy as np
from math import log
# 熵
def calc_ent(datasets):
data_length = len(datasets)
label_count = {}
for i in range(data_length):
label = datasets[i][-1]
if label not in label_count:
label_count[label] = 0
label_count[label] += 1
ent = -sum([(p / data_length) * log(p / data_length, 2) for p in label_count.values()])
return ent
# 经验条件熵
def cond_ent(datasets, axis=0):
data_length = len(datasets)
feature_sets = {}
for i in range(data_length):
feature = datasets[i][axis]
if feature not in feature_sets:
feature_sets[feature] = []
feature_sets[feature].append(datasets[i])
cond_ent = sum([(len(p) / data_length) * calc_ent(p) for p in feature_sets.values()])
return cond_ent
# 信息增益
def info_gain(ent, cond_ent):
return ent - cond_ent
# 最大信息增益
def info_gain_train(datasets):
count = len(datasets[0]) - 1
ent = calc_ent(datasets)
best_feature = []
for c in range(count):
c_info_gain = info_gain(ent, cond_ent(datasets, axis=c))
best_feature.append((c, c_info_gain))
print('特征({}) - info_gain - {:.3f}'.format(labels[c], c_info_gain))
best_ = max(best_feature, key=lambda x: x[-1])
return '特征({})的信息增益最大，选择为根节点特征'.format(labels[best_[0]])
def create_data():
datasets=[['青年', '否', '否', '一般', '否'],
['青年', '否', '否', '好', '否'],
['青年', '是', '否', '好', '是'],
['青年', '是', '是', '一般', '是'],
['青年', '否', '否', '一般', '否'],
['中年', '否', '否', '一般', '否'],
['中年', '否', '否', '好', '否'],
['中年', '是', '是', '好', '是'],
['中年', '否', '是', '非常好', '是'],
['中年', '否', '是', '非常好', '是'],
['老年', '否', '是', '非常好', '是'],
['老年', '否', '是', '好', '是'],
['老年', '是', '否', '好', '是'],
['老年', '是', '否', '非常好', '是'],
['老年', '否', '否', '一般', '否']]
labels=[u'年龄', u'有工作', u'有自己的房子', u'信贷情况', u'类别']
return datasets, labels
datasets, labels=create_data()
info_gain_train(np.array(datasets))
ID3算法
输入：训练数据集D，特征集A，阈值eta
输出：决策树T
步骤：
（1）若D中所有实例属于同一类Ck，则T为单结点树，并将类Ck作为该结点的类标记，返回T；
（2）若A=∅，则T为单结点树，并将D中实例最大的类Ck作为该结点的类标记，返回T；
（3）否则，计算A中各特征对D的信息增益，选择信息增益最大的特征Ag；
（4）如果Ag的信息增益小于阈值eta，则置T为单结点树，并将D中实例数最大的类Ck作为该结点的类标记，返回T；
（5）否则对Ag的每一可能值αi，依Ag=αi将D分割为若干非空子集Di,将Di中实例数最大的类作为标记，构建子结点，由结点及其子结点构成树T，返回T；
（6）对第i个子结点，以Di为训练集，以A-Ag为特征集，递归调用步骤1~5，得到子树Ti,返回T。
import numpy as np
from math import log
import pandas as pd
class Node:
def __init__(self, root=True, label=None, feature_name=None, feature=None):
self.root = root
self.label = label
self.feature_name = feature_name
self.feature = feature
self.tree = {}
self.result = {
'label': self.label,
'feature': self.feature,
'tree': self.tree
}
def __repr__(self):
# 自定义返回值
return '{}'.format(self.result)
def add_node(self, val, node):
self.tree[val] = node
def predict(self, features):
if self.root is True:
return self.label
return self.tree[features[self.feature]].predict(features)
class DTree:
def __init__(self, epsilon=0.1):
self.epsilon = epsilon
self._tree = {}
# 熵
@staticmethod
def calc_ent(datasets):
data_length = len(datasets)
label_count = {}
for i in range(data_length):
label = datasets[i][-1]
if label not in label_count:
label_count[label] = 0
label_count[label] += 1
ent = -sum([(p / data_length) * log(p / data_length, 2) for p in label_count.values()])
return ent
# 经验条件熵
def cond_ent(self, datasets, axis=0):
data_length = len(datasets)
feature_sets = {}
for i in range(data_length):
feature = datasets[i][axis]
if feature not in feature_sets:
feature_sets[feature] = []
feature_sets[feature].append(datasets[i])
cond_ent = sum([(len(p) / data_length) * self.calc_ent(p) for p in feature_sets.values()])
return cond_ent
# 信息增益
@staticmethod
def info_gain(ent, cond_ent):
return ent - cond_ent
# 最大信息增益
def info_gain_train(self, datasets):
count = len(datasets[0]) - 1
ent = self.calc_ent(datasets)
best_feature = []
for c in range(count):
c_info_gain = self.info_gain(ent, self.cond_ent(datasets, axis=c))
best_feature.append((c, c_info_gain))
best_ = max(best_feature, key=lambda x: x[-1])
return best_
def train(self, train_data):
_, y_train, features = train_data.iloc[:, :-1], train_data.iloc[:, -1], train_data.columns[:-1]
# 1,若D中实例属于同一类Ck，则T为单节点树，并将类Ck作为结点的类标记，返回T
if len(y_train.value_counts()) == 1:
return Node(root=True, label=y_train.iloc[0])
# 2, 若A为空，则T为单节点树，将D中实例树最大的类Ck作为该节点的类标记，返回T
if len(features) == 0:
return Node(root=True,
label=y_train.value_counts().sort_values(ascending=False).index[0])
# 3,计算最大信息增益 Ag为信息增益最大的特征
max_feature, max_info_gain = self.info_gain_train(np.array(train_data))
max_feature_name = features[max_feature]
# 4,Ag的信息增益小于阈值eta,则置T为单节点树，并将D中是实例数最大的类Ck作为该节点的类标记，返回T
if max_info_gain < self.epsilon:
return Node(
root=True,
label=y_train.value_counts().sort_values(ascending=False).index[0]
)
# 5,构建Ag子集
node_tree = Node(
root=False, feature_name=max_feature_name, feature=max_feature
)
feature_list = train_data[max_feature_name].value_counts().index
for f in feature_list:
sub_train_df = train_data.loc[train_data[max_feature_name] == f].drop([max_feature_name], axis=1)
# 6 递归生成树
sub_tree = self.train(sub_train_df)
node_tree.add_node(f, sub_tree)
return node_tree
def fit(self, train_data):
self._tree = self.train(train_data)
return self._tree
def predict(self, X_test):
return self._tree.predict(X_test)
def create_data():
datasets = [['青年', '否', '否', '一般', '否'],
['青年', '否', '否', '好', '否'],
['青年', '是', '否', '好', '是'],
['青年', '是', '是', '一般', '是'],
['青年', '否', '否', '一般', '否'],
['中年', '否', '否', '一般', '否'],
['中年', '否', '否', '好', '否'],
['中年', '是', '是', '好', '是'],
['中年', '否', '是', '非常好', '是'],
['中年', '否', '是', '非常好', '是'],
['老年', '否', '是', '非常好', '是'],
['老年', '否', '是', '好', '是'],
['老年', '是', '否', '好', '是'],
['老年', '是', '否', '非常好', '是'],
['老年', '否', '否', '一般', '否']]
labels = [u'年龄', u'有工作', u'有自己的房子', u'信贷情况', u'类别']
return datasets, labels
datasets, labels = create_data()
data_df = pd.DataFrame(datasets, columns=labels)
dt = DTree()
tree = dt.fit(data_df)
print(dt.predict(['老年', '否', '否', '一般']))