【问题思考总结】第一型曲线积分和第二型曲线积分的区别与联系【从几何知识的角度思考】

此处为曲面积分------>第一型曲面积分的第二型曲面积分的区别与联系【从几何知识的角度思考】

问题

在做题的时候，我发现，关于这方面的知识有很多很多，但是每道题的解法不尽相似，也没有什么具体的体系，尤其是在结合了几何的知识后，题型千变万化，没有一个合理的框架很容易在某步卡着动不了，并且有的时候将会出现知识混杂的状况，因此，在此初步进行几何角度的两类曲线积分的讨论。

思考

一二型曲线积分有什么区别？（了解）

一型曲线积分： 由ds进行表示。可以想像，ds是一个弧长微元，被积函数可以想象成密度，那么这个第一型曲线积分就有物理意义即曲杆的质量。

-------------------注意：加粗的dx，dy，dz代表是有方向的，分正负的。--------------

二型曲线积分：由dx，dy，dz进行表示。设F（x，y，z）=P（x，y，z）i+Q（x，y，z）j+R（x，y，z）k（注：（i，j，k）为方向向量，亦可表示为（dx，dy，dz））。

其中，P（x，y，z）为x方向的力，Q（x，y，z）为y方向的力，R（x，y，z）为z方向的力，对F（x，y，z）积分可以得到从起点（x1，y1）到终点（x2，y2）所做的总功。

两类曲线积分是如何进行转化的？（掌握）

一二型曲线积分的转化如下：

（注：cosα为曲线切向量与x轴的夹角的方向余弦，cosβ为曲线切向量与y轴的夹角的方向余弦，cosγ为曲线切向量与z轴的夹角的方向余弦）
原因可以简单的从以下的角度来理解：

即微分变量之间的投影关系。

其中，有两个我们不那么熟悉的变量需要注意：1. ds 2. cos（Q：为什么ds不带方向呢？A：因为方向隐含在cos中）

首先是ds，其转化如下：

这既可以用几何的角度来想像（通过二维的以直代曲等方法类推），也可以用代数的方法来计算（将图二公式两侧均进行平方并相加）。

然后是cos，其转化如下：

这既可以用几何的角度来想像（通过几何的邻边比斜边进行想象），也可以用代数的方法来计算（将图二公式两侧除以ds）。

方向向量（掌握）

由于在涉及到一二型曲线积分的转化的时候，核心实际上就是求单位方向向量，而方向向量的求法十分多样，因此，掌握这部分知识对理解一二型曲线积分的帮助很大。

单位方向向量就是曲线的切向量的单位化形式，将单位方向向量乘以一个ds，将化为另一种形式，再除以一个dx，又是另一种形式。不变的是，他们表示的都是同一个方向。

实战演练

（出自2-24余炳森第五套卷）

对于第一问，我们既可以用这个答案的方法：

即方向导数上面提到的第三种形式，注意，两个方程决定了两个因变量，一个自变量，z和y因此都表示为关于x的函数。求出方向向量后，单位化即可。

亦可以用纯几何的方法来求解，即利用曲线的切线垂直于两个平面法向量的方法：

要更为快捷。

总结

求两类曲线积分的转化，实质上就是求方向向量，把握好两类积分的联系，会解方向向量，这方面的题的求解将更加有底。