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第二章 导数与微分

  • 导数与微分的基本概念
  • 求导公式与法则
  • 题型
    • 型一 关于定义的问题
    • 型二 显函数求导
    • 型三 隐函数求导
    • 型四 参数方程确定的函数的导数
    • 型五 分段函数求导
    • 型六 高阶导数

导数与微分的基本概念

第二章 导数与微分_第1张图片
点：极限存在，称为可导
空：倒数第二行那个说明极限存在，可导的

在这里插入图片描述
点：导数就是一个特殊的极限值
空：在那个极限符号

第二章 导数与微分_第2张图片
点：由于导数是一种特殊的极限，所以，导数存在的充分必要条件是左导数和右导数存在且相等。
空：最后一行那个充要符号的右侧

第二章 导数与微分_第3张图片
1.导数就和极限一样，你完完全全按照极限去做就好了，然后出现ln,照常凑出1
第二章 导数与微分_第4张图片
1.求这个数在那个点的导数，就是减一下，按照那个形式弄出式子，然后正常按照极限算就可以了。
空：那个转换的式子

就是还有一个要注意的点就是，x->0代表x!=0，要代那个不等于0的式子

第二章 导数与微分_第5张图片
这个是可导一定连续的证明，这个比什么乱七八糟的记忆法好多了
1.因为分母趋于0，而且这整个值存在，所以分子一定趋于0，要不然就是∞了就是不存在了，
2.然后根据分子趋于0，就可以推出极限值等于函数值，在这个点连续

第二章 导数与微分_第6张图片

对于连续不一定可导的证明，这里举了一个反例，然后通过算左右导数，发现不相等于是推出不可导

第二章 导数与微分_第7张图片
这个是要记的结论
1.这里第一个结论是由，因为你分母已经是趋于0了，所以你的分子必须趋于0，
得到的。
2.然后再把在a这个点的导数的定义方式写出来，然后再利用到上面一个的结论，得到的。

在这里插入图片描述
那个若，，，则可微这个东西要记住，因为后面证明f(x)在x=x0可导和可微等价是时候有用到
就是y的变化量等于y=f(x)在x=x0处的微分加上x的变化量的高阶无穷小

在这里插入图片描述
证明充分性：
第二章 导数与微分_第8张图片

这就是利用到极限当时的东西来变换了，

第二章 导数与微分_第9张图片
1.先凑出微分的定义的式子那个样子
2.证明是高阶无穷小就用我去除以你，如果是0的话那就是高阶无穷小了

证明必要性：

第二章 导数与微分_第10张图片
1.先凑出导数的样子
2.然后利用高阶无穷小除以无穷小是0化掉后面那个
3.然后发现有一个值，就是极限存在，那就是可导，而且导数还就是那个A

第二章 导数与微分_第11张图片
由上面证明了

第二章 导数与微分_第12张图片
这个在后面的不定积分会很多的涉及到

求导公式与法则

第二章 导数与微分_第13张图片
第二章 导数与微分_第14张图片

第二章 导数与微分_第15张图片
第二章 导数与微分_第16张图片
这个是一个对于四则运算的妙用，还行，就是x是0那一坨等0你就必须全部都等0，管它是什么

在这里插入图片描述
这是链式求导法则，下面我给出它的证明
第二章 导数与微分_第17张图片
1.由于那个值不等于0，推出同阶无穷小
2.由于同阶无穷小，所以替换了，替换了就直接证明出来了

对于这种求导的运算我就不贴出来了，这种的就是你自己慢慢练，注意一下顺序

一个函数有反函数必须严格单调
1.严格递增2.严格递减
必须one to one 否则没有反函数

第二章 导数与微分_第18张图片
求反函数

  • 先初步把x做一下
  • 平方差公式，小技巧，还不错hhh
    在这里插入图片描述
    第二章 导数与微分_第19张图片
    证明
  • 由于导数的值不为0可以推出严格单调，那就是存在反函数
  • 然后再次由于导数的值不为0推出同阶无穷小，这个一定要清楚，导数的值不为0就是可以推出同阶无穷小，然后同阶无穷小可以起到再次替换的用处，然后你能替换呢，就要看看找个地方给它替换了！！

题型

型一 关于定义的问题

第二章 导数与微分_第20张图片

  • 先证明一个连续，我也不知道为啥要证明这个连续
  • 然后它不是说了这个导数存在嘛，这个一定要用起来，这个可不是一个没用的小条件啊，这可是一个大条件，说明了它的左极限和右极限是相等的，这个条件看到了可以直接解出这一整道题目
  • 然后有一个很重要的点，就是那个ln那边的一个等价无穷小，你一定要敏感，一开始你还尝试了洛必达发现不行，哎，还是不够敏感

第二章 导数与微分_第21张图片
这题挺妙的说实话

  • 一个很好的点就是用到了上面有说的一个知识，但是呢，这个东西你也可以不用去背，你自己就能知道了，很好推的
  • 然后就是又到了我们最熟悉的极限环节了，这里用到的技巧就是把定型的拆分出来，很好做噢，然后那边那个不定型的，你把它替换成你刚刚算出来的导数的值就可以了。

型二 显函数求导

这个我不讲了，没多大意思，大家都会

型三 隐函数求导

第二章 导数与微分_第22张图片
隐函数求导是一点都不难啊
就是

  • 把y看作是x的一个函数，然后遇到了y，最后把dy/dx求出来就可以了。

自己做了一下，这种题目确实是不难，就是多注意一下带和不要忘记两边同时求导就可以了。
又做出来了一题，这种题就是确实就是好算啊啊，要记得如果要求的是dy的话那么你算出来的导数再去乘以一个dx就可以了

型四 参数方程确定的函数的导数

第二章 导数与微分_第23张图片
对于这个一阶导数和二阶导数的记号问题

第二章 导数与微分_第24张图片

  • 加入dt来作为中介
  • 注意不要随便直接求导了
    第二章 导数与微分_第25张图片
  • 尽量学一下它的格式写法吧，空就放在那个二阶导数的格式写法上面

型五 分段函数求导

第二章 导数与微分_第26张图片

  • f’(0)存在可以推出三个等，两个等
  • 就是三个函数值相等，左中右
  • 两个导数值相等，左右
  • 然后你就可以直接做出来这道题
    在这里插入图片描述
    分母是二阶无穷小，分子是三阶，是高阶所以是0

第二章 导数与微分_第27张图片

  • 交汇的点先不管，先求其他点的导数，然后交汇的点的按照导数的定义去确定它可不可导
  • 讨论一阶导数的连续性，就是看极限值等不等于函数值，然后你别管它的函数值是多少，这里它的函数值是f’(x)

型六 高阶导数

第二章 导数与微分_第28张图片
高阶的导数的做法就是一步一步求，最后找到规律
第二章 导数与微分_第29张图片
这个公式要记一下
第二章 导数与微分_第30张图片

  • 拆分一下再代公式吧，不要自作主张直接代公式

在这里插入图片描述
这个先记一下
第二章 导数与微分_第31张图片

  • 如果不会用那个公式那就寄了

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