AM@不定积分@逐项积分法

abstract

• 不定积分相关概念和性质
• 基本积分表
• 逐项积分法

原函数

• 若区间$I$上可导函数$F(x)$的导函数为$f(x)$,即$\forall x\in I$,都有$F^{\prime }(x)=f(x)$(或$\mathrm{d}F(x)=f(x)\mathrm{d}x$);那么$F(x)$就称为$f(x)$(或$f(x)\mathrm{d}x$)在区间$I$上的一个原函数

• 例如:$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$,则$\sin x$是$\cos x$的一个原函数

原函数存在性

• 连续函数一定有原函数

原函数不唯一

• 若$f(x)$在区间$I$上有原函数,即有一个函数$F(x)$,使得$\forall x\in I$,都有$F^{\prime }(x)=f(x)$,则任意常数$C$,都有$(F(x)+C{)}^{\prime }=f(x)$,即对于任何常数$C$,$F(x)+C$也是$f(x)$的原函数
• 可见如果$f(x)$有一个原函数,那么就有无穷多个原函数

同一个函数的原函数之间的关系

• 设$F(x),\Phi (x)$是$f(x)$两个原函数,则$\forall x\in I$,${\Phi }^{\prime }(x)=F^{\prime }(x)=f(x)$
• 从而$(\Phi (x)-F(x){)}^{\prime }$=${\Phi }^{\prime }(x)-F^{\prime }(x)$=$f(x)-f(x)$=0
• 而一个区间上导数恒为零的函数必为常数(用Lagrange中值定理可以证明),所以$\Phi (x)-F(x)=C_0$,$C_0$为某个常数
• 这表明,$\Phi (x),F(x)$只差一个常数,从而$C$为任意常数时,$F(x)+C$可以表似乎$f(x)$的任意一个原函数

不定积分

• 基于原函数之间相差一个常数的关系,有:

  • 在区间$I$上,函数$f(x)$的带有任意常数项的原函数$F(x)+C$称为:$f(x)$或$f(x)\mathrm{d}x$在区间$I$上的不定积分,记为$\int f(x)\mathrm{d}x$
  • 其中$\int$称为积分号,$f(x)$称为被积函数,$f(x)\mathrm{d}x$称为被积表达式,$x$称为积分变量

• 不定积分和原函数的表示关系:$\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$

• 因此,不定积分$\int f(x)\mathrm{d}x$可以表示$f(x)$的任意一个原函数

• 例:$\int x^2\mathrm{d}x$=$(2+1{)}^{-1}{x}^{2+1}+C$=$\frac{1}{3}{x}^3+C$

• 求不定积分的运算简称积分运算

积分曲线

• 函数$f(x)$的原函数的图形$\int f(x)\mathrm{d}x$称为$f(x)$的积分曲线
• 同一个函数的积分曲线之间可通过沿着$y$轴平移获得

积分运算和微分运算的互逆性

• 由于$\int f(x)\mathrm{d}x$是$f(x)$的原函数,所以
  • $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int f(x)\mathrm{d}x$=$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F(x)+C)$=$f(x)$,(1-1)或$\mathrm{d}[\int f(x)\mathrm{d}x]$=$\mathrm{d}(F(x)+C)$=$f(x)\mathrm{d}x$(1-2)
• 由于$F(x)$是$F^{\prime }(x)$的原函数,所以
  • $\int F^{\prime }(x)\mathrm{d}x$=$F(x)+C$(2-1),或$\int \mathrm{d}F(x)$=$\int F^{\prime }(x)\mathrm{d}x$=$F(x)+C$(2-2)
• 可见,微分运算和积分运算是互逆的
  • $f(x)$先积分后微分,结果为$f(x)\mathrm{d}x$
    • 如果是先积分后求导,则结果为$f(x)$
  • $F(x)$先微分后积分,结果为$F(x)+C$,
    • 如果是先求导后微分,结果也是$F(x)+C$

从导数公式到积分公式

• 对于任意导数公式$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)$=$f^{\prime }(x)$,对两边积分,得$\int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)$=$\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$

• 得$f(x)+C$=$\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$,即$\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$=$f(x)+C$,即公式(2-1)

• 结论表明,$f(x)$的导数$f^{\prime }(x)$的积分等于$f(x)+C$

• 例如

  • $f(x)=x^n$,$f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$,立即有公式$\int n{x}^{n-1}\mathrm{d}x$=$x^n+C$,分离常数到积分号外面,$n\int x^{n-1}\mathrm{d}x$=$x^n+C$,即$\int x^{n-1}\mathrm{d}x$=$\frac{1}{n}{x}^n+C$,即$\int x^n\mathrm{d}x$=$\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}\mathrm{d}x$
  • 又例如$(kx{)}^{\prime }=k$,得$\int k\mathrm{d}x$=$kx+C$,($k$为常数)

• 类似的可以推出13个基本不定积分公式

基本积分表

• 以下积分积分可以直接从基本导数公式表推出,验证则更加容易

  $f(x)$	$\int f(x)\mathrm{d}x$
  $k$	$kx+C$
  $x^a$,$(a\ne -1)$	$\frac{1}{a+1}{x}^{a+1}+C$
  $\frac{1}{x}$	$\ln
  $\frac{1}{1+x^2}$	$\arctan x+C$
  $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x+C$
  $\cos x$	$\sin x+C$
  $\sin x$	$-\cos x+C$
  ${\sec }^{2}x$	$\tan x+C$
  ${\csc }^{2}x$	$-\cot x+C$
  $\sec x\tan x$	$\sec x+C$
  $\csc x\cot x$	$-\csc x+C$
  $a^x$	$\frac{1}{\ln a}{a}^x+C$
  $e^x$	$e^x+C$

自然对数的积分

$(\ln |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}(x\ne 0)$

• 分段分析,去掉绝对值:

  • $\ln x$,$(x>0)$

  • $\ln (-x)$,$(x<0)$

• 分别求导

  • $\frac{1}{x}$,$(x>0)$

  • $\frac{1}{-x}(-1)=\frac{1}{x}$,$(x<0)$

• 所以:$(\ln |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x},x\ne 0$;$\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x$=$\ln |x|$,$x\ne 0$

事实上

• $\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x$=$\ln x+C$,$(x>0)$

• $\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x$=$\ln -x+C$,$(x<0)$

不定积分的性质

1. 设函数$f(x)$和$g(x)$的原函数存在,则$\int (f(x)+g(x))\mathrm{d}x$=$\int f(x)\mathrm{d}x+\int g(x)\mathrm{d}x$
   • 证明:两端求导可均可的$f(x)+g(x)$,结论成立
2. 设函数$f(x)$的原函数存在,常数$k\ne 0$,则$\int kf(x)\mathrm{d}x$=$k\int f(x)\mathrm{d}x$
   • 证明:两边求导后均可得$kf(x)$

逐项积分法

• 应用不定积分性质的方法求不定积分的方法称为逐项积分法(或称为加法和数乘积分法则),是最基础,最常用的积分方法之一

• 以分母形如$a{x}^n$的分式有理函数,则可以将括号展开化为幂之和的形式利用性质1,2求不定积分

• 如果分母是一般多项式,则利用多项式除法,将原是化为多项式或者多项式和更简单的分式有理式,再尝试基本积分表中的公式和不定积分的性质求解

  • 有一类分母比较特殊,就是$x^2+1$,因为$\frac{1}{x^2+1}$对应于$\arctan x$的导数($\int \frac{1}{x^2+1}\mathrm{d}x$=$\arctan x+C$)
  • 另一类则是$\sqrt{1-x^2}$为分母的情况,$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
  • 有时逐项积分法比较繁琐时,考虑适用其他方法(换元法等)

• 某些三角函数的积分可以尝试通过三角恒等变换化为基本积分表中已有的积分公式可以求解的式子(可见,掌握变形技巧对于积分计算是十分重要的)

例

• 例:$\int \frac{(x-1{)}^3}{x^2}\mathrm{d}x$=$\int \frac{x^3-3x^2+3x-1}{x^2}\mathrm{d}x$=$\int (x-3+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2})\mathrm{d}x$=$\frac{x^2}{2}-3x+3\ln |x|+\frac{1}{x}+C$

例

• $\int {\tan }^{2}x\mathrm{d}x$,
  • ${\tan }^{2}x$=${\sec }^{2}x-1$,从而$\int f(x)\mathrm{d}x$=$\int {\sec }^{2}x\mathrm{d}x$-$\int 1\mathrm{d}x$=$\tan x-x+C$
• $\int {\sin }^2\frac{x}{2}\mathrm{d}x$
  • ${\sin }^2\frac{x}{2}$=$\frac{1}{2}(1-\cos x)$;$\int {\sin }^2\frac{x}{2}\mathrm{d}x$=$\frac{1}{2}(x-\sin x)+C$
• $\int \frac{2x^4+x^2+3}{x^2+1}\mathrm{d}x$=$\int (2x^2-1+\frac{4}{x^2+1})\mathrm{d}x$=$\frac{2}{3}{x}^3-x+4\arctan x+C$