【Leetcode】918. Maximum Sum Circular Subarray

题目地址：

https://leetcode.com/problems/maximum-sum-circular-subarray/

给定一个长$n$的数组$A$，要求找到和最大的非空循环子数组。返回其和。

法1：单调队列。首先容易想到构造一个新数组$B$，其恰好是$A$后面再append一个$A$，并且删掉最后一个数，这样$B$的长度是$A$的两倍减$1$，并且任意一个$A$的循环子数组都能在$B$中找到一个长度不超过$n$的子数组与之对应（这种对应不是一一对应，但是能够做到不遗漏）。这样问题就转化为，求$B$中长度不超过$n$的最大和子数组的和是多少，可以用单调队列来做，参考https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/109590586。具体做法是开一个严格单调增的双端队列，存下标，并且构造$B$的前缀和$p$。维护队列里存的是下一轮要遍历到的数$p[i]$为右端点的、最大和的子段对应的左端点的备选，那么当遍历到$p[i]$的时候，$i-n-1$这个下标如果在队列里的话，应该出队（超出长度了），接着队列如果非空，则队首$j$所对应的子段$p[i]-p[j]$就是以$B[i+1]$为右端点的最大和子段的和（这其实是因为队列是严格单调增的，下面会看到原因），下一步很关键，要将队尾大于等于$p[i]$的下标都出队（这里的意思不是拿下标与$p[i]$比，而是拿下标对应的$p$值去比），因为这些数在接下来的遍历中，不会成为左端点的候选（因为它们如果是候选的话，$p[i]$必然更是候选，因为$p[i]$不但值更小，而且位置更右），接着将$i$入队。从这些步骤可以看出，队列里的下标对应的$p$值是严格单调增的。代码如下：

import java.util.ArrayDeque;
import java.util.Deque;

public class Solution {
    public int maxSubarraySumCircular(int[] A) {
        int[] preSum = new int[A.length * 2];
        for (int i = 0; i < A.length * 2 - 1; i++) {
            preSum[i + 1] = preSum[i] + A[i % A.length];
        }
        
        int res = Integer.MIN_VALUE;
        Deque<Integer> deque = new ArrayDeque<>();
        for (int i = 0; i < preSum.length; i++) {
        	// 去掉出界的队首
            if (!deque.isEmpty() && deque.peekFirst() < i - A.length) {
                deque.pollFirst();
            }
            
            // 此时p[i]为右端点对应的最大子段和就是p[i]减去p在队首的值
            if (!deque.isEmpty()) {
                res = Math.max(res, preSum[i] - preSum[deque.peekFirst()]);
            }
            
            // 维护单调性
            while (!deque.isEmpty() && preSum[deque.peekLast()] >= preSum[i]) {
                deque.pollLast();
            }
            
            deque.offerLast(i);
        }
        
        return res;
    }
}

时空复杂度$O(n)$。

法2：求最小子段和。容易看出，最大循环子段和要么是最大子段和，要么是总和减去最小子段和（这里需要注意一个特殊情况，如果最大子段和是负的，那么说明$A$里的所有数都是负的，此时最大循环子段和就是$A$里的所有负数里的最大的那个，这个数恰好等于最大子段和。但是，此时最小子段和是$A$的总和，总和减去最小子段和结果是$0$，结论并不对。根本原因是题目要求找的循环子段和是非空的循环子段）。而求最大和最小子段和可以用动态规划来做。代码如下：

public class Solution {
    public int maxSubarraySumCircular(int[] A) {
        int curMaxSum = 0, curMinSum = 0, total = 0, minSum = Integer.MAX_VALUE, maxSum = Integer.MIN_VALUE;
        for (int x : A) {
            curMaxSum = Math.max(x, x + curMaxSum);
            curMinSum = Math.min(x, x + curMinSum);
            minSum = Math.min(minSum, curMinSum);
            maxSum = Math.max(maxSum, curMaxSum);
            total += x;
        }
        
        return maxSum >= 0 ? Math.max(maxSum, total - minSum) : maxSum;
    }
}

时间复杂度$O(n)$，空间$O(1)$。