2020-10-10 (Riemann surfaces and integrable systems)

为什么自己会可积性情有独钟呢？一个主要的原因是可积性与代数，分析，几何都有很紧密的关系。N. Hitchin 有一个关于可积性的introduction写的极好，看完之后很多心中的不解都变的有迹可循，虽然还是很多不懂，但是至少知道了问题的所在，还有寻找答案的方向。

在Hitchin 的intro里写到，一个可积系统（微分方程）应该具有三个特点：

1. 存在很多守恒量
2. 出现代数几何
3. 可以具体求解
   Hitchin给了一个很简单的例子（motion of rigid body）来说明这三个特点。
   1和3是很好理解的，也是我们经常说的。2虽然也略知一二，但是做不到给自己讲清楚的地步，因为代数几何不是我熟悉的数学语言，差不多类似于标准日本语初级上 接近及格的水平。但是特点2又是十分关键的，想要理解可积系统为什么可以具体求解，代数几何或者其他数学知识是必须的。这里的求解主要是指求解non-linear differential equation，或者说是求解系统随时间演化的问题。这里我们用可积的lattice model做一个对比。lattice model我们要求的是配分函数，我们可以把写成一个transfer matrix 的 trace。所以求解配分函数等价于求transfer matrix的谱也就是他的eigenvalues。什么时候我们很容易得到一个矩阵的谱呢？一种情况是这样的：我们找到无穷多个矩阵和transfer matrix 対易，那么我们就可以同时将他们对角化（假设没有兼并）。但是对于一个n-维对角矩阵，独立的个数是n，现在我们却又无穷多个，他们之间必然满足线性方程。这些方程有解的条件就会对谱有一个很强的限制，通过求解这些限制我们就有可能把transfer matrix 的谱求出来（这个就是Bethe ansatz的精神。）。能找到无穷多个这样的矩阵最后归结为存在一个Yang Baxter equation解R，使transfer matrix T 满足RTT equation。T又是有很多L-opertor得到，RTT最后归结为RLLequation。L-operator对于lattice（每一个vertex 都是一个十字这种lattice）有一个很清楚的含义。对于每一个十字，有上下左右四个态，我们假设给定上下的态ab，那么不同的左右态ij构成了一个矩阵L_{ij}^{ab}。从这里也可以看出 L_{ij}^{ab}的选取定义了不同的lattice model（vertex model）。总结一下这里的逻辑就是，如果已知lattice model可积 那么我们一定可以用RLL还有YBE求解R，然后利用RTT得到对于谱的限制（Bethe ansatz），最后求解。

回到求解non-linear differential equation 的问题，以上的逻辑，如果已知可积性，那么要得到“证明”可积性的量，对于lattice model 是Rmatrix，这里是Lax matrix L。然后利用Lax matrix 把non-linear differential equation 转化为 Lax equation，有了Lax matrix，就已经可以具有可积系统前两个性质，可以构造守恒量，然后Lax matrix的 特征方程 是一个 代数曲线（spectral curve）。问题只剩下怎样求解Lax equation了，如果Lax equation还是一个non-linear differential equation，那么问题根本没有简化，但是可积系统独特的地方就是，Lax equation 已经其实是表述了一个line bundle 在代数曲线上的随时演化，这个演化是linear 的。Hithin在他的讲义“Riemann surfaces and integrable systems”很好的（很友好的介绍了minimal数学背景：黎曼面还有代数几何。物理学家写的数学还行相对来说容易看懂的，比起Babelon, Berndard and Talon的大黄书里面内容清楚还有友好很多了。）解释了这一点。

Hithin's lecture note

Hithin的这个讲义里面黎曼面还有代数几何的介绍恰到好处，追求的不是知识的完整，而只取其中我们的关键需要，然后巧妙的串联起来。
在黎曼面上line bundle 有很好的性质，但是Lax operator 是一个带谱参数的矩阵与vector bundle直接相关，所以我们先要用到一个trick就是通过黎曼面M的多重覆盖 ，去联系黎曼面上vector bundle和其多重覆盖上的line bundle。因为矩阵本身就是一个线性空间到线性空间的映射，所以在覆盖黎曼面上我们需要先引入一个line bundle的映射 w：给定一个line bundle L 的section 我们得到另外一个line bundle=L x O‘（n）（这里O’（n）是一个特殊的line bundle） 的section。通过刚才说的trick，这个映射诱导了一个在原来黎曼面上vector bundle section之间的映设W。如果vector bundle 都是trivial 的，那么他们的section 就是一个简单是线性空间，那么W就变成了一个矩阵并且矩阵元是O(n)的一个section, 这里O(n)也是一个line bundle与O‘（n）是通过黎曼面还有多重覆盖黎曼的映射联系起来的。W就是我们需要的Lax operator 的形式：一个带谱参数的矩阵，每一个矩阵元是黎曼球上某个line bundle(O(n))的section 。

这样考虑的好处是，W在vector bundle section的作用在对应的line bundle section来看就是一个简单的数乘w。这样w就和W的eigenvalue 相对应，line bundle 与eigenvector 相对于。w是定义在覆盖黎曼面上的，对于覆盖黎曼上的每一点，w都要满足W的特征方程，因为矩阵元属于O(n)，所以特征方程也在O(n)上。所以通过w还有W的特征方程我们得到了一个覆盖黎曼面到O(n)的映射。O(n)是一个line bundle所以是一个二维复曲面，覆盖黎曼面是通过W的特征方程embed到了这个2维复曲面中。所以我们说W的特征方程定义了覆盖黎曼面，称为spectral curve，换句话来说就是W的谱就是我们的覆盖黎曼面，spectral curve。总结就是，Lax matrix 的谱一个黎曼面，the spectral curve。Lax matrix 的eigenvector 是spectral curve 上的line bundle L。

这里对于line bundle L 有一个隐含的条件是L对应的vector bundle 必须是trivial 的，这就对L的degree有一个要求（必须是g-1，g是spectral curve的genus）。黎曼面上的line bundle有其degree(first chern class)完全确定，这里要用到一个sheaf cohomology的结论。可以这样理解line bundle 定义就是通过transition function。不等价的transition function定义了不同的line bundle。transition function定义在两个开集上，所以属于1st cohomology group of sheaf of non-vanishing holomorphic functions。这样可以利用sheaf cohomology 的结果对line bundle 进行分类。结论就是在compact Riemann surface上，给定degree后line bundle 所在的空间 是Jacobin torus。

我们已经准备好理解Lax equation 了。之前提供Lax equation的含义就是Lax matrix 的谱不变，然后他的eigenvector line bundle 随时间的变化。通过刚才的介绍已知，line bundle的空间是一个complex torus。我们也可以反过来想，如果一个line bundle在Jacobin torus里面是随时间linear 演化的，我们可以证明，由这个line bundle 对应的 Lax matrix 一定是满足 Lax equation的。