洛玖言

微分方程-常系数线性方程组

常系数线性方程组

对于线性方程组，只要得到了相应的齐次线性方程组的基本解组，我们就可以常数变易公式给出他的通解. 因此本节主要给出常系数齐次线性方程组的基本解组的求解方法.

将常系数齐次线性方程组表述为矩阵形式

$\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}\quad(4.14)$

由于需要考虑特征值，因此我们在复数域讨论方程组（4.14）. 简记列向量和阶矩阵同样用 Euler 指数函数法，设（4.14）有如下形式的特解：

其中和非零向量都是待定的. 将（4.15）带入（4.14）得

从而化成了线性代数中求矩阵的特征值和相应的特征向量的问题. 方程组（4.14）有非零解当且仅当系数行列式 . 我们称为特征方程.

定理 4.4

如果矩阵有个彼此互异的特征根，则方程组（4.14）有基本解组，其中使分别相应于的特征向量.

--

定理的证明是根据十分基本的线性代数知识，在定理的条件下矩阵可对角化，对应的特征向量是线性无关的并构成的一组基.

较困难的问题是上述不可对角化的情形. 在一般情况下的特征方程可以有重根，故只能在上化成 Jordan 标准型. 我们将引入矩阵指数函数的方法.

因为这部分内容比较多，所以分为三个部分

[矩阵指数函数]
[标准解矩阵的初等表达]
[重特征根情形结论]

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