算法小结 之 蛮力法
文章目录
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- 1.1 蛮力法的定义
- 1.2 蛮力法的优缺点
- 1.3 蛮力法的设计思想
- 1.4 蛮力法的经典使用
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- 1.4.1 排序
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- 1.4.1.1选择排序
- 1.4.1.2冒泡排序
- 1.4.1.3 顺序查找
- 1.4.2 字符串匹配问题
- 1.4.3 最近点对的蛮力算法
- 1.4.4 凸包问题的蛮力算法
- 1.4.5 穷举法
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- 1.4.5.1 NP难问题
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- 1.4.5.2 TSP问题
- 1.4.5.3 背包问题
- 1.4.5.4 分配问题
1.1 蛮力法的定义
蛮力法又称为枚举法，穷举法，暴力法。蛮力算法是一种简单直接地解决问题，但不一定是最高效的方法
1.2 蛮力法的优缺点
蛮力法所具有的优点：
- 应用范围广，不受实列规模的限制
- 当要解决的问题低频率出现，并且高效算法很难设计时可选用蛮力法
- 对解决一些小规模的问题实列仍然有效
- 可作为衡量其他算法的参照物
蛮力法所具有的缺点：
- 用蛮力法设计的算法其时间性能往往也是最低的, 典型的指数时间算法一般都是通过蛮力搜索而得到的
1.3 蛮力法的设计思想
蛮力法是指采用遍历（扫描）技术，即采用一定的策略将待求解问题的所有元素依次处理一次，从而找出问题的解。依次处理所有元素是蛮力法的关键，为了避免陷入重复试探，应保证处理过的元素不再被处理。
1.4 蛮力法的经典使用
1.4.1 排序
1.4.1.1选择排序
问题描述：
给定一个可排序的n元序列，将它们按照非降序方法重新排序
使用蛮力法的思路（递归描述）：
- 扫描整个列表，找出n个元素中最小的元素，将其置于末端
- 对剩余的n-1个元素执行步骤一
- 当所剩元素为1时，停止操作
算法设计（伪代码）：
//非递归
Algorithm SS(A[0..n-1]) //SelectionSort
//输入：n元数组
//输出：n元数组
for i=0 to n-2 do
min:=i;
for j:=i+1 to n-1 do
if A[j]<A[min] then min->j;
swap A[i] and A[min]
算法分析：
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输入规模（空间复杂度）
因为输入的是n元数组，故空间复杂度是：O(n)
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算法的基本操作：
比较A[j] < A[min]，数据交换swap
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比较次数C(n)
C ( n ) = ∑ i = 0 n − 2 ∑ j = i + 1 n − 1 1 = ∑ i = 0 n − 2 ( n − 1 − i ) = n ( n − 1 ) 2 C(n)={\sum_{i=0}^{n-2}\sum_{j=i+1}^{n-1}1}={\sum_{i=0}^{n-2}(n-1-i)}=\frac{n(n-1)}{2} C(n)=i=0∑n−2j=i+1∑n−11=i=0∑n−2(n−1−i)=2n(n−1)
于是C(n)属于O（n2）
1.4.1.2冒泡排序
问题描述：
给定一个可排序的n元序列，将它们按照非降序方法重新排序
使用蛮力法的解决思路：
- 比较相邻的元素，将大的元素交换到右边的位置，重复多次后，最大的元素交换到最右边
- 第二遍将第二大的元素沉下去，n-1次后结束
算法设计：
Algorithm BS(A[0..n-1]) //BubbleSort
//输入：n元数组
//输出：n元数组
for i:=0 to n-2 do
for j:=0 to n-2-i do
if A[j+1]<A[j] then swap A[j] and A[j+1]
算法分析：
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输入规模（空间复杂度）
因为输入的是n元数组，故空间复杂度是：O(n)
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算法的基本操作：
比较A[j] < A[j+1]，数据交换swap
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比较次数C(n)
C ( n ) = ∑ i = 0 n − 2 ∑ j = 0 n − 2 − i 1 = ∑ i = 0 n − 2 ( n − 1 − i ) = n ( n − 1 ) 2 C(n)={\sum_{i=0}^{n-2}\sum_{j=0}^{n-2-i}1}={\sum_{i=0}^{n-2}(n-1-i)}=\frac{n(n-1)}{2} C(n)=i=0∑n−2j=0∑n−2−i1=i=0∑n−2(n−1−i)=2n(n−1)
于是C(n)属于O（n2）
1.4.1.3 顺序查找
问题描述：
已知有n个元素的数组A[0…n]，给定元素K，要求找出一个下标i,，使得A[i]=K.。输出第一个值等于K的元素的位置，找不到返回-1。
使用蛮力法解决问题的思路：
遍历数组
算法设计：
Algorithm SequentialSearch(A[0..n-1],K)
//输入：n元数组，给定元素k
//输出：所寻找到的元素k的下标
i:=0;
while A[i]≠K and i<n do
i:=i+1;
if A[i]=K then return i
else return -1
算法分析：
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输入规模
因为输入的是n元数组，故空间复杂度是：O(n)
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算法的基本操作
比较A[i]与k是否相同
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比较次数
- 最坏情况：n
- 最好情况：1
1.4.2 字符串匹配问题
问题描述：
从文本中寻找匹配模式的子串，即求出第一个匹配模式的子串在文本中的开始位置（子串最左元素的下标）。
使用蛮力法解决问题的思路：
将模式对准文本的前m个字符从左往右进行比对，如果其中有一个字符不匹配，模式往右移动一位继续下一个m个字符的比对。
算法设计：
Algorithm BFSM (T[0..n-1], P[0..m-1])// Brute Force String Match
//输入：文本数组T[0..n-1]，模式数组P[0..m-1] (n>m)
//输出：所寻找的的位置的下标，查找不成功时返回-1
for i :=0 to n-m do
j := 0
while j<m and P[j]=T[i+j] do
j := j+1
if j=m return i
return -1
算法分析：
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输入规模
输入了两个数组，长度分别为n和m，故空间复杂度是：O(n+m)
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算法的基本操作
比较
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比较次数
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最坏情况：
模式需要移动n-m+1次，模块每次移动前，都要做m次对比，此时的时间复杂度属于nm级别
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最好情况：
模式不需要移动，只需要比较m次，时间复杂度属于m级别
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平均时间复杂度属于n级别的
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1.4.3 最近点对的蛮力算法
问题描述：
给定平面S上n个点，找其中的一对点，使得在n(n-1)/2个点对中，该点对的距离最小。
使用蛮力法解决问题的思路：
把所有的点两两组合，比较它们之间的距离即可以得到距离最小的一对
算法设计：
Algorithm BFCP ( P ) // Brute Force Closest Points
// 输入：n个点的数组P，Pi(xi , yi), i=1, 2, …, n
// 输出：两个最近点的下标index1和index2
dmin := ∞;
for i := 1 to n-1 do
for j := i+1 to n do
d := sqrt((xi-xj)2+(yi-yj)2);
if d < dmin then
dmin := d;
index1 := i; index2 := j;
return index1, index2
算法分析：
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输入规模
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算法的基本操作
平方操作
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比较次数C(n)
C ( n ) = ∑ i = 1 n − 1 ∑ j = i + 1 n 2 = 2 ∑ i = 0 n − 2 ( n − i ) = n ( n − 1 ) C(n)={\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}2}=2{\sum_{i=0}^{n-2}(n-i)}=n(n-1) C(n)=i=1∑n−1j=i+1∑n2=2i=0∑n−2(n−i)=n(n−1)
于是C(n)属于O（n2）
1.4.4 凸包问题的蛮力算法
问题描述：
凸集定义：
设S是平面点集，如果S中任意两点的连线都属于该集合，则称S是凸的
凸包定义：
一个点集S的凸包是指包含S的最小凸集。显然，如果S是凸的，则S的凸包就是S本身（橡皮筋圈解释）。
给定一个n个点的点集S，求S的凸包。
使用蛮力法解决问题的思路：
极点：
凸集的极点是指不会出现在集合中任何线段的中间的点。
设点集大小为n，首先将其中的点两两配对，得到直线段条。
然后对每一条直线段检查其余的n-2个点的相对于该直线段的正负性，如果它们都有相同的正负性，那么这条直线段属于凸多边形的边，其顶点是极点。
1.4.5 穷举法
穷举法是一种简单的蛮力方法，它要求生成所有可能的可行解，再从中选择最优解。
1.4.5.1 NP难问题
目前没有已知的效率可以用多项式来表示的算法，需要通过穷举法去解决，下面是两个经典问题：
1.4.5.2 TSP问题
给定n个城市相互之间的距离，求一条能走遍n个城市的最短路径，使我们能从任一城市开始，访问每个城市只一次后回到起点。
1.4.5.3 背包问题
给定n个重量为w1、w2…wn，价值为v1、v2、…、vn的物品和一个承重为W的背包，如何将物品装入背包使背包所获的价值最大。
1.4.5.4 分配问题
有n个任务需要分配给n个人执行，一人一个任务。将第j个任务分配给第i个人的成本是C[i, j],求总成本最小的分配方案。
可用穷举法列出n的阶乘个可能的解决方案