【分治算法】【Python实现】Strassen矩阵乘法

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系列专栏：分治算法

学习指南：算法学习指南

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问题描述

• 设$A$和$B$是两个$n\times n$矩阵，$A$和$B$的乘积矩阵$C$中元素$c_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$
• 每计算$C$的一个元素$c_{ij}$，需要做$n$次乘法和$n-1$次加法，求出矩阵$C$的$n^2$个元素所需的时间为$O(n^3)$

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基础算法

• 假设$n$是$2$的幂，将矩阵$A$、$B$和$C$中每个矩阵都分块成$4$个大小相等的子矩阵，每个子矩阵都是$n/2\times n/2$的方阵

∣ C 11 C 12 C 21 C 22 ∣ = ∣ A 11 A 12 A 21 A 22 ∣ ∣ B 11 B 12 B 21 B 22 ∣ \begin{vmatrix} C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{vmatrix} ​C11​C21​​C12​C22​​ ​= ​A11​A21​​A12​A