图论第五章.独立集、支配集与匹配 知识总结

1.独立集

定义：

 

布尔运算求所有极大独立集☆☆☆☆：

 

点覆盖：

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2.支配集

定义：

重要定理证明：

独立集与支配集的关系：

 

极小支配集的布尔运算☆☆☆☆：

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3.匹配

定义：

定理与重要例题：

霍尔定理（记结论）：

即是：对于二部图G，存在一个匹配M，使得X的所有顶点关于M饱和的充要条件是：对于X的任意一个子集A，和A邻接的点集为T(A)，恒有： │T(A)│ >= │A│

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4.最大匹配算法

匈牙利算法☆☆☆☆（必考）：

匈牙利算法是一个不断寻找增广路径的过程



 

算法形象的理解：

首先选定了一个尽可能大的匹配{$x_2{y}_2,x_3{y}_3,x_5{y}_5$}，想让$x_1$匹配一个新的边，却发现与$x_1$关联的y都其他x被占据了，于是之前的顶点需要让出一个y来，于是我们让$x_1{y}_2$成为了新的匹配，又要为$x_2$寻找一个新的匹配，最终选到$x_2{y}_2$，实现了最大匹配。

或者可以用交替路来理解，交替路就是依次经过非匹配边（x1y2）和匹配边（y2x2）与非匹配边（x2y1）的这条路，将它取反操作。

理解匈牙利算法

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5.最优匹配

将一个问题转换为二部图

如果将边$(x_i,y_j$)上的权$\omega$算上，要求一个总权最大的完美匹配，我们称这种匹配为最优匹配。

平凡项标：

其实就是取权值最大的一组想x，y。
 

K-M算法☆☆☆☆：

K-M算法优秀解释