【leetcode 力扣刷题】数学题之计算次幂//次方：快速幂

50. Pow(x, n)

题目链接：50. Pow(x, n)
题目内容：

题目就是要求我们去实现计算x的n次方的功能函数，类似c++的power()函数。但是我们不能使用power()函数直接得到答案，那样这道题就失去了考察的意义。
前面提到乘法a*b可以看作是b个a相加，用加法来完成乘法；x的n次方，就是n个x相乘，那么同样可以用乘法来代替次幂计算，我们称之为快速幂。比如5^7，就是7个5相乘，快速幂的过程如下：

第一轮是乘以5，第二轮乘以5*5，第三轮乘以(5*5)*(5*5)，也就是每一轮乘的数都在加倍，这样就能够在log^n的时间复杂度内完成x^n的计算。代码实现如下（C++）：

class Solution {
public:
    double myPow(double x, int n) {
    	//先处理特殊情况
        if(x == 0) return 0.0;
        if(x == 1) return 1.0;
        if(n == 0) return 1.0;
        bool flage = false;
        long _n = n;
        //如果n是负数，x^n = 1/(x^|n|)
        if(_n < 0){
            flage = true;
            _n = -_n;
        }
        double ans = 1;
        double mul = x;
        //快速幂主体过程
        while(_n){  
            if(_n&1)  //如果n末位为1，就乘以mul
                ans *= mul;      
            mul *= mul; //mul翻倍
            _n >>= 1; //n右移一位
        }
        return flage ? 1.0/ans : ans; //判断是否需要变成倒数
    }
};

372. 超级次方

题目链接：372. 超级次方
题目内容：

看起来和上一题是差不多的，但是由于b是一个非常大的正整数，以数组形式给出[1,0,3,4]就表示1034【末位是个位，然后是十位，然后是百位，最前面的是最高位】。其中1 <= b.length <= 2000说明b可以达到10^1999的程度，根本没法用double、long long等数据类型来存储这么大的数，所以在运算过程中也不能直接把b转换成一个数或者每一位转换成一个数，需要其他方法：

将每一位b[i]的数值b[i]*10^(m-1-i)【其中m是b.length】分解成b[i]和10^(m-1-i)两部分，每次先求a^(10^(m-1-i))得到A，再求A^b[i]。a^(10^(m-1-i))随着i的减小越来越大，但是可以看作是上一轮的A^10。
由于每次次幂结果都要mod 1337，所以结果是不会溢出的，a^(10^(m-1-i))每一次用上一轮的A^10来表示就解决了b很大的问题。另外需要注意的是(a*b) mod k =( (a mod k) * (b mod k) ) mod k。
a^(10^(m-1-i))和A^b[i]以及A^10都用快速幂求解。快速幂过程中根据(a*b) mod k =( (a mod k) * (b mod k) ) mod k加上求模操作。代码如下（C++）：

class Solution {
public:
	//快速幂
    long quick_pow(int a, int n){
        int ans = 1;
        int mul = a;
        while(n){
            if(n&1)
            	//加上求模操作
                ans = ( (ans % 1337) * (mul % 1337)) % 1337;
            //mul也加上求模操作
            mul = ((mul % 1337) * (mul % 1337)) % 1337;
            n>>=1;
        }
        return ans;
    }
    int superPow(int a, vector<int>& b) {
        int ans = 1;        
        for(int j = b.size() - 1; j >= 0; j--){
            ans =( (ans % 1337) * (quick_pow(a,b[j]) % 1337) ) % 1337;
            //每次a都在上一次的基础上，变成其10次方
            a = quick_pow(a, 10);
        }
        return ans;
    }
};