优化算法笔记（十四）水波算法

1. 水波算法简介

（以下描述，均不是学术用语，仅供大家快乐的阅读）
　　水波算法（Water wave optimization）是根据水波理论提出的优化算法。什么是水波理论？简单来说就是水波的宽度越小，其频率越高，频率与水波宽度的平方根成反比（具体细节我也不懂，物理方面的）。水波算法也算是一种受物理现象（理论）启发而提出的算法，提出时间并不长，还有大量的研究和应用可以深入进行。
　　在水波算法中，水波有三种形式来对空间进行搜索。1.传播，2.折射，3.碎浪。传播即水波向周围扩散开来，折射是水波的高度趋近与0时改变了传播的方向（我是真的理解不能，光可以折射，水也能折射的咯？），碎浪即水波的高度较高时，水波破碎形成浪花。可以看出水波的传播是贯穿整个算法流程的，而折射只会发生在水波高度减少至0时，碎浪则发生在水波过高时。
（强行解释最为致命，作者开心就好）。

2. 算法流程

将每一个水波想象成一个独立的个体，那么每个水波将拥有3个属性：位置X，波长 以及波高h。
　　在每一次迭代过程中，每个水波都会通过传播的形式来对空间进行搜索同时水波的高度h会减少1。其位置更新公式如下：

　　其中为该水波的波长，为当前搜索空间的上下界。的值会随着迭代的进行而改变：

　　其中 为波长的衰减系数， 为一个较小的数以保证分母不为0。
每次传播后，如果当前的水波优于传播前的水波，则传播到该位置，否则波浪的高度h会减少1，即：

　　上式中适应度函数值越大，表明位置越优。

2.2折射

在一个水波进行传播之后，该水波有可能进行折射。每次传播，水波的高度h会减少1，当h减少到0时，该水波将发生折射，同时其高度和波长也会改变，折射及高度波长改变公式如下：

　　折射后的位置正态分布在以当前水波和最优水波中点为均值，当前水波与最优水波距离为方差的位置。
　　在折射后水波的高度将会重新初始化为最大高度：

　　折射后，会重新计算该水波的波长 ：

2.3碎浪

在水波进行传播之后，到达了一个优于当前最优水波的位置，则该水波将会进行碎浪，并将当前最优水波传播到碎浪产生的位置。
　　碎浪位置的产生公式如下：

　　k为一个随机数，每次碎浪将会随机选择k个维度来进行改变。 为一个常数。如果碎浪得到的结果优于当前最优水波，则改变当前最优水波到碎浪的位置。

是不是感觉流程图有点复杂，其实算法没有那么复杂，整个过程一共只有三个操作，一个水波在一代中最多只会执行两种方式。每个水波可能的搜索方式有三种：1.传播，2.先传播后碎浪，3.先传播后折射。

3. 实验

适应度函数

　　由于水波算法收敛较慢，所以最大迭代次数使用100。
实验一：

参数	值
问题维度(维度)	2
总群数量(种群数)	20
搜索次数(最大迭代次数)	100
	12
	0.5
	1.0026
	0.25->0.001
取值范围	（-100，100）
实验次数	10

	值
最优值	0.001808651677916917
最差值	0.04375677283916835
平均值	0.015238301700866286

从图像中可以看出，个体在向着中心不断的收敛，其收敛速度不算很快。其结果也相对稳定。
　　从图像可以推测出，水波算法的核心参数其实是水波的最大高度，水波的最大高度决定了算法的收敛速度和精度，就像人工蜂群算法中的蜜源最大开采次数一样。若一个个体连续多代没有找到优于当前的位置，它将改变自己的策略。
　　从算法的具体实现可以看出，传播是一个在自身周围的全局搜索的过程，折射则属于一个大概率局部搜索，小概率跳出局部最优的操作，而碎浪则是进一步的局部搜索。那么水波的最大高度越高，则水波算法的全局搜索能力越强，但收敛速度越慢，反正，算法的收敛速度越快。
实验二：减少算法的水波最大高度至5

参数	值
问题维度(维度)	2
总群数量(种群数)	20
搜索次数(最大迭代次数)	100
	5
	0.5
	1.0026
	0.25->0.001
取值范围	（-100，100）
实验次数	10

	值
最优值	3.6611061423558655E-4
最差值	0.0023474778938427704
平均值	0.0011350695286915448

从图像可以看出算法的收敛速度明显比实验一要快，在第30代时已经快收敛于一个点了。从结果来看，实验二的结果也优于实验一，由于水波的最大高度较小，算法进行碎浪和折射的次数增加了，即算法的局部搜索能力增强了。
　　同样之前的算法中也提到过多次，收敛速度越快，群体越容易聚集到同一个区域，算法也越容易陷入局部最优，而适应度函数对优化算法来说是一个黑盒函数，无法得知其复杂程度。所以对于实验所使用的较为简单的测试函数，水波的最大高度越小，结果的精度越高，而面对未知的问题时，应该选取较大的水波高度以避免陷入局部最优。同样物极必反，水波的最大高度过大可能会使算法的局部搜索较弱，我们可以选取一个动态的水波最大高度。
实验三：水波最大高度随迭代次数增加由12递减至2

参数	值
问题维度(维度)	2
总群数量(种群数)	20
搜索次数(最大迭代次数)	100
	12->2
	0.5
	1.0026
	0.25->0.001
取值范围	（-100，100）
实验次数	10

	值
最优值	6.362096569652954E-4
最差值	0.06803231857237127
平均值	0.015265574050623312

看图像和结果感觉和实验一差别不大，唯一的区别就是最优值要好于实验一。在这个简单的测试函数中无法表现出其应有的特点，由于算法后期群体已经较为集中，也无法明显的看出算法的收敛速度是否随着迭代次数增加而加快。

4. 总结

水波算法也是一个新兴算法，算法的流程较为复杂且可修改参数较多。算法的流程和思想与蜂群算法有点类似，但水波算法更为复杂。水波算法的三个搜索策略，传播是一个全局搜索行为，也有一定的跳出局部最优能力；折射则是一个局部搜索过程，由于正态分布的原因，有较小的概率产生跳出局部最优的操作；碎浪则是一个更进一步的局部搜索，只在最优位置附近搜索。
　　其搜索策略使算法在整个流程中都拥有全局搜索和局部搜索能力，全局搜索与局部搜索之间的平衡由水波的最大高度决定，最大高度约大，全局搜索能力越强，收敛速度越慢，反之，局部搜索能力越强，收敛速度越快。

以下指标纯属个人yy,仅供参考

指标	星数
复杂度	★★★★★☆☆☆☆☆
收敛速度	★★★★★☆☆☆☆☆
全局搜索	★★★★★★☆☆☆☆
局部搜索	★★★☆☆☆☆☆☆☆
优化性能	★★★★☆☆☆☆☆☆
跳出局部最优	★★☆☆☆☆☆☆☆☆
改进点	★★★★☆☆☆☆☆☆

参考文献
Zheng, Yu-Jun. Water wave optimization: A new nature-inspired metaheuristic[J]. Computers & Operations Research, 2015, 55:1-11.提取码：fo70
目录
上一篇 优化算法笔记（十三）鲸鱼算法
下一篇 优化算法笔记（十五）蝙蝠算法

优化算法matlab实现（十四）水波算法matlab实现