C语言笔记-数列例题

数组例题解析

一、例7-2：打印Fibonacci数列

1.题目描述

用数组计算Fibonacci数列的前10个数，并按每行打印5个数的格式输出。

输入样例

无

输出样例

1 1 2 3 5 
8 13 21 34 55 

注意：

① 只需打印Fibonacci数列的前10个数

② 每行最多只能打印5个数

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2.了解Fibonacci数列的特性

在解答本题前，我们需要明白什么是Fibonacci数列。

Fibonacci数列（以下简称fi数列），即斐波那契数列，这个数列有一个特点：从数列的第三项开始*（包括第三项）*，每个项都等于它前两个项的和。

fi数列的第一、第二项的值分别为：1、1，由此可往后递推出后面项的值。

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3.解题思路

① 利用fi数列的特性，我们可以借助循环或递归来进行推算第n个项的值(n ≥ 3, n∈Z)，这里我们使用循环的方法进行解答；
② 每推算一个项，就将其储存到数组中*（即对数组的元素逐个赋值）*；
③ 赋值结束之后，再利用循环逐个将数组里的值打印输出，并结合取模运算，按照题目要求，每打印5个数字就进行一次分行。

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4.代码示例

#include
#define N 10//利用宏定义，定义一个值为10的常量N

int main() {
	int fi[N];//定义一个有10个int型元素的数组，储存fi数列
   	fi[0] = fi[1] = 1;
   	/*<数组赋值>*/
	for (int i = 0; i < N; i++) {
   		if (i < 2) { fi[i] = 1; }//第一、第二项的值均为1
   		else { fi[i] = fi[i - 1] + fi[i - 2]; }//从第三项（i=2）开始推算，第i项的值等于第i-1项与第i-2项（即前两项）之和
 	}
   	for (int i = 0; i < N; i++) {
 		printf("%d ", fi[i]);
   		if (i % 5 == 4) { printf("\n"); }//每输出五个数之后，进行换行操作
   	}
 	return 0;
   }

对于<数组赋值>部分，推算和赋值的流程如下图所示：

*注：$黄绿色数字是$$红色数字的和$

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5.例题小结

• 本题的关键在于，如何运用数组和循环来推算Fibonacci数列

• 一般来说，在定义数组时，其方括号中只能使用常量或常量表达式 （严格地说，应该是一个有限正整数或有限正整数的表达式）

• 在定义数组时，数组方括号中的数字m，表示长度，表明该数组有m个元素；而在调用数组的元素时，数组方括号中的数字n（即下标），表示第n+1个元素
  -例如：

  定义时，int arr[m]; (m = 10) 那么调用时，arr[n]; (0 ≤ n < m, n ∈ N)

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二、例7-3：顺序查找法

1.题目描述

输入正整数**n和整数x，再输入n个整数并存入一个数组a中，然后在数组a中查找x**，如果找到，输出相应元素的最小下标，否则，输出"Not Found"。

输入样例1

5 9
2 9 8 1 9

输出样例1

1

输入样例2

4 101
9 8 -101 10

输出样例2

Not Found

注意：

① 对于这类无法确定数组长度的题目，在定义的数组时长度要足够大，避免出现数组越界的情况

② 只需要输出一次下标，且该下标是所有符合条件的下标中最小的一个

③ 输出“Not Found”时的拼写和字母大小写是否正确

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2.解题思路

① 定义一个整型变量**index**，并赋值一个负数，用于记录下标；

② 使用一次循环，将所输入n个整数全部储存到数组中；

③ 再使用一次循环，检测数组中有无符合条件的元素，并通过变量**index**记录符合条件的元素的下标；

④ 根据记录的变量分辨情况，输出对应的结果。

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3.代码示例

#include

int main()
{
	int n, x;
   	int index = -1;//记录下标的变量，初始赋值一个负数
	int a[1000];//定义一个较大的长度，防止出现异常
	scanf("%d %d", &n, &x);
   	for (int i = 0; i < n; i++) {
		scanf("%d", &a[i]);
	}
	/*<遍历查找>*/
   	for (int i = 0; i < n; i++) {
		if (a[i] == x)//发现符合条件（等于x）的数
		{
   			index = i;//记录下标，使得index≥0
   			break;//跳出循环，不再往后检测
   		}
   	}
	if (index < 0) { printf("Not Found"); }//index<0，表示没能在数组范围内找到x
   	else { printf("%d", index); }//index≥0，表示在数组范围内找到了x
	return 0;
}

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4.例题小结

• 在不确定所输入数字数量的情况下，一定要考虑数组的长度，避免出现异常和报错
• 养成良好的习惯，善用break关键字，减少不必要的循环，在一定程度上能提高程序的运行效率

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三、例7-4：数组元素交换

1.题目描述

输入正整数**n**(1 < n ≤ 10)，再输入n个整数，输出最小值和它对应的下标，并与第一个数交换，再输出交换后的n个数。

输入样例1

5
5 9 8 2 15

输出样例1

2 3
2 9 8 5 15

输入样例2

6
-1 9 2 8 1 6

输出样例2

-1 0
-1 9 2 8 1 6

注意：

① 只有最小值需要与第一个数交换

② 先输出最小值，再输出最小值的下标，最后再输出经过交换处理的所有数

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2.解题思路

① 定义两个整型变量**min、index，分别用于记录最小值**、最小值的下标；

② 使用一次循环，将所输入n个整数全部储存到数组中；

③ 再使用一次循环，查找数组中值最小的元素，并通过变量**min和index，分别记录该元素的值和下标**；

④ 令最小值和第一个元素交换；

⑤ 输出结果。

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3.代码示例

#include

int main()
{
	int n;
	int min;//最小值
	int index;//最小值下标
	int a[10];
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		scanf("%d", &a[i]);
	}
	/*<遍历查找>*/
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		if (i == 0 || a[i] < min) {//附加一个条件（i == 0），表示假设最小值min是第一个元素的值
			min = a[i];//记录最小值
			index = i;//记录最小值的下标
		}
	}
	/*<元素互换>*/
	//这里了一个类似的骚操作：用一个空杯子将一瓶可口可乐和一瓶百事可乐调包
	int temp = a[0];
	a[0] = a[index];
	a[index] = temp;
	printf("%d %d\n", min, index);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		printf("%d ", a[i]);
	}
	return 0;
}

以输入样例2为准，对于<元素互换>部分，各变量的变化流程如下图所示：

*注：$绿色数据将会取代$$红色数据或与之互换$

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4.例题小结

• 在本题中，元素的交换是关键点，偶尔会有一些童鞋将交换的方法写成下面这样的形式：

a[0] = a[index];
a[index] = a[0];

​ 逻辑上好像没啥毛病，但是在程序中，代码会严格按照各自的顺序运行处理，因此这样的写法是不可取的

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四、例7-5：选择法排序

1.题目描述

输入一个整数**n**(1 < n ≤ 10)，再任意输入n个整数，用选择法将它们从小到大排序后输出。

输入样例1

5
3 5 2 8 1

输出样例1

1 2 3 5 8

输入样例2

8
5 -1 7 4 -6 0 4 1

输出样例2

-6 -1 0 1 4 4 5 7

注意：

① 按照从左到右的顺序，数字由小到大排列

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2.关于选择排序

选择排序(Selection sort)，是数组的基础排序法的一种，和冒泡排序(Bubble Sort)相比，它的优点在于每次循环只需执行一次元素交换，因此运行效率也会更高一些，但它的主要缺点是不稳定，感兴趣的童鞋可以问度娘，这里不做过多的解释。

工作原理：每次从未排序的元素中找出这些元素的最值，并将这个最值与每次查找的第一个元素的值交换，如此循环，直至范围内的元素不足2个时，即意味着排序结束 。

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3.解题思路

① 定义一个变量**index，用于记录每次排序时查找到的最小值的下标；
② 先利用一层循环，对每个元素进行排列；
③ 在上一层循环中，再嵌入一层循环，用于查找未排序范围内的最小值；
④ 每次查找到最小值后，根据index记录，使其下标与index相同的元素（arr[index]）与未排序范围内的最左端的数(arr[i]**)交换；
⑤ 嵌套循环结束后，表明排序完成，此时输出结果即可。

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4.代码示例

#include
#define N 10
int main()
{
	int n;
	int index;//最小值的下标 
	int arr[N];
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		scanf("%d", &arr[i]);
	}
	/*<选择排序>*/
	for (int i = 0; i < n; i++) {//第一层循环
		index = i;//假设最小值是第i个元素
		for (int j = i; j < n; j++) {//第二层循环，每次查找的第一个元素是arr[i]
			if (arr[index] > arr[j]) {//检测到比当前最小值更小的数
				index = j;//原最小值的下标替换为当前最小值的下标
			}
		}
		int temp = arr[i];//元素互换
		arr[i] = arr[index];
		arr[index] = temp;
	}
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		printf("%d ", arr[i]);
	}
	return 0;
}

以输入样例1为准，数组各个元素的值在n次排列中的变化如下表所示：

	arr[0]	arr[1]	arr[2]	arr[3]	arr[4]	查找结束后
i = 0	(3)	5	2	8	(1)	arr[0]与arr[4]的值互换
i = 1	1	(5)	(2)	8	3	arr[1]与arr[2]的值互换
i = 2	1	2	(5)	8	(3)	arr[2]与arr[4]的值互换
i = 3	1	2	3	(8)	(5)	arr[3]与arr[4]的值互换
i = 4	1	2	3	5	8	排序完成，循环结束

以输入样例1为准，对于<选择排序>部分，查找最小值和交换的部分流程如下图所示：

*注：$两个不同的绿色数字在查找结束后相互交换，$$红色方框为未进行排序的数组范围$

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5.例题小结

• 该题的难点在于查找和交换最值的部分，如何用循环进行查找和交换位置的确定是解决该题的关键

• 如何用循环进行查找和交换位置的确定是关键

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五、例7-6：调查电视节目的热度

1.题目描述

某电视台要对该台的8个电视栏目的受欢迎程度进行一次调查，共调查了n位观众(1 ≤ n ≤ 1000)，现要求编写程序，输入观众的投票，统计输出各个栏目的得票情况。

输入样例

6
3 1 6 9 8 1

输出样例

1 2
3 1
6 1
8 1

注意：

① 可能会有观众投出无效票

② 只输出得票数不为0的栏目编号

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2.解题思路

① 定义一个整型变量**n**，表示调查了几位观众；

② 使用一次循环，对每个观众的投票进行判断和统计；

③ 筛选出得票数不为0的栏目，并输出对应的结果。

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3.代码示例

#include
#include//memset函数的头文件
#define N 9//根据电视栏目数定义的宏定义常量，这里定义为9有一定的好处

int main()
{
	int n;
	int program[N];//各电视栏目票数
	//for (int i = 0; i < N; i++) program[i] = 0;//利用循环，数组元素全部赋值为0
	memset(program, 0, sizeof(program));//利用memset函数，将数组元素全部赋值为0
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		int vote;//观众给对应栏目投的票
		scanf("%d", &vote);
		if (vote >= 1 && vote <= 8) {//有效票
			program[vote]++;//栏目票数加一
		}
	}
	for (int i = 1; i < N; i++) {//这里i初值为1，跳过program[0]
								 //因为在该数组中，program[8]是第8个栏目
								 //加上program[0]，一共九个元素，所以才将N定义为9
		if (program[i] > 0) {
			printf("%d %d\n", i, program[i]);//输出栏目对应的编号和票数
		}
	}
	return 0;
}

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4.例题小结

• 遇到这类题目时，数组的长度不一定要根据题目给出的一些数来决定，可以依情况稍稍调整，使编写过程更简洁*（以本题为例，为电视栏目所定义的数组长度N是9而不是8，不然在编写时就需要为某些变量进行±1等操作，比如program[i - 1]，vote -= 1等）*

• 在编写时，多多考虑可能出现的特殊情况，最好作出相应的对策

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六、例7-7：二分查找法

1.题目描述

输入正整数**n(1 < n ≤ 10)和整数x，再输入n个从小到大有序排列且不重复的整数，并存入一个数组a中，然后在数组a中查找x**，如果找到，输出相应元素的下标，否则，输出"Not Found"。

输入样例1

10 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

输出样例1

6

输入样例2

6 1
-3 -1 0 2 4 6

输出样例2

Not Found

注意：

① 查找到目标值后，输出的是目标值的在数组中的下标

② 输出“Not Found”时的拼写和字母大小写是否正确

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2.关于二分查找

二分查找，又称折半查找(Binary search)，是一种比遍历要高效的查找方法，但只有查找目标有序排列且无重复的目标时可用，因此这种查找方法主要适用于有序的顺序表。

工作原理：获取一个区间，然后取其中间值，将整个区间一分为二（每个区间是整个区间的½），再根据目标值可能出现的情况选择其中一个区间，再继续将这个区间一分为二（每个区间是整个区间的¼），如此循环，直至找到目标值或区间不可再分。

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3.解题思路

① 二分查找的查找方式具有规律性，因此可以借助循环或递归来查找目标值，这里我们使用递归的方法进行解答；
② 定义一个函数方法**binarySearch，对一个区间进行判断，取其中间值，将区间划分成两个半区间，确定目标值可能会在的哪一半区间；
③ 确定目标值可能所在的那半区间后，立即再调用这个binarySearch**，对这半个区间再进行一次判断，如此递归，直到找到目标值或区间不可再分；

④ 根据查找结束后返回的下标，输出对应的结果。

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4.代码示例

#include

int binarySearch(int l, int r, int x, int a[])
{
    int mid = (l + r) >> 1;//闭区间[l,r]的中间值
    int idx = -1;//记录下标的变量，初值为负数，表示还没找到x
    if(x == arr[mid]) idx = mid;//发现中间值a[mid]等于x，则记录其下标
    else if(arr[l] <= x && x < a[mid])//x在前半区间：a[l] ≤ x < a[mid]
        idx = binarySearch(l , mid - 1, x, arr);//在数组[l,mid-1]范围中继续二分查找
    else if(arr[r] >= x && x > arr[mid])//x在后半区间：a[mid] < x ≤ a[r]
        idx = binarySearch(mid + 1 , r, x, arr);//在数组[mid+1,r]范围中继续二分查找
    return idx;//返回下标变量idx的值
}

int main()
{
    int n, x, index;
    int a[10];
    scanf("%d %d", &n, &x);
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &arr[i]);
    }
    index = binarySearch(0, n-1, x, arr);//第一次二分查找开始
    if(index < 0) { printf("Not Found"); }//没找到x，index是负数
    else { printf("%d", index); }//找到x，index是非负数
    return 0;
}

以输入样例1为准，binarySearch函数查找流程如下图所示：

*注：$红色方框表示本次查找的区间范围$

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5.例题小结

• 本题的关键在于如何理解和实现二分查找的方法

• 递归和循环都各有千秋。相比于循环，递归更难以理解，但对于某些复杂的问题，使用递归的方法能将程序的编写过程简单化

七、总结说明

1.数组的重要作用

所谓的数组(Array)，是一种有序的元素序列，即是在程序设计中，为了处理方便， 把具有相同类型的若干元素按有序的形式组织起来的一种形式，它不仅是与**指针(Pointer)**相关的一部分内容，更是绝大多数编程语言的一种重要工具。

数组的出现带给我们方便，其中也包含了许多的算法(Algorithm)，这些算法对我们处理数组非常有用，因此在掌握各种算法之前，了解数组的逻辑和结构是非常重要的。

数组主要用于统计(Statistic)和大量的数据处理，当然，数组的用途并不仅局限于此，如果肯下功夫去学的话，甚至能用它玩出各种花样来。

2.一些关于数组的细节

• 一定要弄清楚，定义数组和调用数组的方括号中的数字具有不同含义，定义时表示长度(Length) ，调用时表示下标，下标的值往往小于长度且不为负数；
• 静态数组的长度尽可能地使用常量(Constant)或常量表达式来定义；
• 数组的长度不一定要直接定义，也可以通过根据初值的数目来自动定义，如：int a[] = { 0,1,2 };表示定义一个长度为3的整型数组；
• 数组越界是未知而又危险的，因此在调用数组时，务必要避免这种情况发生；
• 数组的长度可以很大，但往往是有限的，长度的上限因数据类型和所分配的空间和内存的大小而异；
• 静态分配数组时，各个元素的地址通常都是连续的，这点对于理解指针板块的动态数组的很重要；
• 字符串(String)本质上也是一种数组，它由多个char型数据组成，所以在c语言中通常用char 标识符[]或char *标识符来表示定义一个字符串，需要注意的是，字符串最后一个元素都以**'\0'**作为字符串的结尾；

*注：$上述内容基于c语言编写$

主编：佚名