《算法竞赛·快冲300题》每日一题：“凹”

《算法竞赛·快冲300题》将于2024年出版，是《算法竞赛》的辅助练习册。
所有题目放在自建的OJ New Online Judge。
用C/C++、Java、Python三种语言给出代码，以中低档题为主，适合入门、进阶。

“ 凹” ，链接： http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1845

题目描述

【题目描述】 给定一个长度为n的数组a，请求出存在多少个二元组满足“凹”的性质：
1、1≤i 2、对于所有的ia[k],a[j]>a[k]。
注意，当j=i+1时，k不存在，也满足上述约束。
  给 。
【输入格式】 第一行为正整数n，n≤1000000。
接下来n行，每行一个a[i]，1≤a[i]≤n，a[i]不互相同。。
   。
【输出格式】 输出一个数字表示答案。。
【输入样例】

样例1：
3
2
1
3

样例2：
6
1
3
2
6
4
5 

【输出样例】

样例1：
3

样例2：
7 

---

题解

   首先模拟检查“凹”，了解执行的过程。以“3 1 2 6”为例，其中的“凹”有：“3 1 2”和“3 1 2 6”；还有j = i + 1的“3 1”、“1 2”、“2 6”。一共5个。
   像“3 1 2”和“3 1 2 6”这样的“凹”，需要检查连续的3个以上的数字。
   例如“3 1 2”，从“3”开始，下一个应该比“3”小，例如“1”，再后面的数字比“1”大，才能形成“凹”。
   再例如“3 1 2 6”，前面的“3 1 2”已经是“凹”了，最后的“6”也会形成新的“凹”，条件是这个“6”必须比中间的“1 2”大才行。
   总结上述过程是：先检查“3”；再检查“1”符合“凹”；再检查“2”，比前面的“1”大，符合“凹”；再检查“6”，比前面的“2”大，符合“凹”。
   以上是检查一个“凹”的两头，还有一种是“嵌套”。一旦遇到比前面小的数字，那么以这个数字为头，可能形成新的“凹”。例如“6 4 2 8”，其中的“6 4 2 8”是“凹”，二内部的“4 2 8”也是凹。如果学过递归、栈，就会发现这是嵌套，所以本题用栈来做很合适。
   以“3 1 2 6”为例，用栈模拟找“凹”。当新的数比栈内的数小，就进栈；如果比栈内的数大，就出栈，并记录找到了一个“凹”。

   然而，上述讨论隐含了一个前提，就是“凹”的尾部比头大，所以只能找到“头<尾”的“凹”。如何找“头>尾”的“凹”？只需反过来用栈执行一遍就行了。
【笔记】 栈的应用 。

C++代码

#include
using namespace std;
int a[1000010];
stack<int>s;
int ans;
int main(){
    int n;  scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)  scanf("%d", &a[i]);
    //从头到尾
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        while(!s.empty() && s.top() < a[i])
            ans++, s.pop();
        s.push(a[i]);
    }
    while(!s.empty()) //清空栈s
        s.pop();
    //从尾到头
    for(int i = n; i >= 1; i--){
        while(!s.empty() && s.top() < a[i])
            ans++, s.pop();
        s.push(a[i]);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

Java代码

import java.util.Scanner;
import java.util.Stack;
 
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int[] a = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) 
            a[i] = sc.nextInt();        
        sc.close(); 
        Stack<Integer> s = new Stack<Integer>();
        int ans = 0;
         // 从头到尾
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            while (!s.empty() && s.peek() < a[i]) {
                ans++;
                s.pop();
            }
            s.push(a[i]);
        }
         s.clear();
         // 从尾到头
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            while (!s.empty() && s.peek() < a[i]) {
                ans++;
                s.pop();
            }
            s.push(a[i]);
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

Python代码

   注意两点：用setrecursionlimit扩栈，用readline加快读入速度。

import sys
sys.setrecursionlimit(1000000)
input = sys.stdin.readline           #加这句后读入会快些
a = []
s = []
ans = 0
n = int(input())
for _ in range(n):  a.append(int(input()))
# 从头到尾
for i in range(n):
    while len(s) > 0 and s[-1] < a[i]:
        ans += 1
        s.pop()
    s.append(a[i])

s.clear()
# 从尾到头
for i in range(n-1, -1, -1):
    while len(s) > 0 and s[-1] < a[i]:
        ans += 1
        s.pop()
    s.append(a[i])
print(ans)