3D shape matching

毕设是Graph Matching课题，读到了2009年的一篇paper，Applying Sum and Max Product Algorithms of Belief Propagation to 3D Shape Matching and Registration, 2009 Digital Image Computing: Techniques and Applications,记下收获与你分享。

用Markov Random Field，解决两个meshed surface上点的correspondence matching问题，变为一个energy function minimisation问题。geometry信息（Gaussian curvature 高斯曲率）在node中保存，topology信息在edge中保存。

【高斯曲率：微分几何中，曲面上一点的高斯曲率（曲面 于该点的总曲率）是该点主曲率κ₁和κ₂的乘积。它反映了曲面的一般弯曲程度。它是曲率的内在度量，也即，它的值只依赖于曲面上的距离如何测量，而不是曲面如何嵌入到空间。】

采用一种approximation techniques解决这个MAP问题，Loopy Belief Propagation。论文中尝试了sum and max product两个版本的BP算法来做3D shape matching，然后用这个结果解决3D rigid body registration问题。

MRF和BP是由来已久，比较关注的是文章对于 energy function的定义。

假设Markov property是基于singletons and pairwise cliques on a 2D grid of a collection of random variables, 那么 energy function H(x)由两个部分组成：

1. external energy( based on the curvature difference defined on singletons)
   文章里用的L2 norm Minkowski distance也就是Euclidean distance，这部分就是所有点i与其匹配点xi的曲率K差的平方(dm term)和。
2. internal energy(the spatial restrictions based on the pairwise distance defined on 2-element cliques)
   这部分是有关边的，假设i,j是图M上一条边的两端点，xi,xj 是图M'上的对应匹配点，那么这部分就是对所有边i-j的dp term和。dp是这个meshed surface M′上定义的pairwise distance，没说具体是怎样。

解空间要遵从下面的Gibbs分布：

 

belief propagation基本思想是message passing:

1. a message mij is passed from node i to node j indicating the belief node i has about the state node j should be in.We take the product of all the messages incoming into node i, except the one coming from node j.
2. In BP the belief bi at a node i is proportional to Ái(xi) and the product of all incoming messages.

下面是算法流程：

 

Max-Product方法只是将2中第一个式子改为：

 

 

Paper在实验中对BP的Sum and Max Product Algorithms做了对比，用同样的triangular surface mesh(http://www.cse.wustl.edu/∼cmg/meshes.php),发现sum product的error rates要比max product高，不管是耗时还是 the stable values after convergence at all noise levels.