一分钟让你轻松拿捏 求解斐波那契数列!

文章目录

  • 斐波那契数列的概念
  • 递归求解第N个斐波那契数
  • 迭代求解第N个斐波那契数
  • 递归法和迭代法的比较

斐波那契数列的概念

斐波那契数列(Fibonacci sequence),又称黄金分割数列,因数学家莱昂纳多·斐波那契(LeonardodaFibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上,斐波那契数列以如下被以递推的方法定义:F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)(n ≥ 2,n ∈ N*)在现代物理、准晶体结构、化学等领域,斐波纳契数列都有直接的应用,为此,美国数学会从 1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志,用于专门刊载这方面的研究成果。

递归求解第N个斐波那契数

通过对斐波那契数的了解,我们很容易写出下面这个通项公式:

一分钟让你轻松拿捏 求解斐波那契数列!_第1张图片
写出通项公式后用递归方法来实现就比较简单了:

long long Fibonacci(int n)
{
	if (n == 0 || n == 1)
		return n;
	else
		return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}//递归

迭代求解第N个斐波那契数

迭代也就是我们通常所说的循环,即用循环的方法来求第n个斐波那契数:

long long Fibonacci(int n)
{
	if (n == 0)
		return 0;
	else if (n == 1)
		return 1;
	long long a = 0;
	long long b = 1;
	long long c = 1;
	while (n - 2)
	{
		a = b;
		b = c;
		c = a + b;
		n--;
	}
	return c;
}//迭代法

递归法和迭代法的比较

看到递归法与迭代法的实现之后,那么你认为哪一种方法比较好呢?

如果只看表面上的代码量,你可能以为递归法的实现更为简单,但在运行时,当你要求第50个斐波那契数的时候,递归法迟迟给不出运行结果,而迭代法不要说是求第50个斐波那契数,就算是求第100个,第1000个,第10000个斐波那契数,都是秒出结果。那这是什么原因呢?

其实,在递归法中,我们要求第50个斐波那契数,就要先求第49个和第48个斐波那契数,而要求第49个斐波那契数,又要先求第48个和第47个斐波那契数,要求第48个斐波那契数,就要先求第47个和第46个斐波那契数…

一分钟让你轻松拿捏 求解斐波那契数列!_第2张图片

在图中我们可以看到,递归法中做了很多“无用功”,即对同一斐波那契数进行了多次求解。这里可以用一个代码来说明:

#include 
int count = 0;
long long Fibonacci(int n)
{
	if (n == 0)
		count++;
	if (n == 0 || n == 1)
		return n;
	else
		return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}//递归
int main()
{
	Fibonacci(20);
	printf("%d\n", count);
	return 0;
}

这里我们要求第20个斐波那契数,我们用一个变量count来记录这个过程中Fibonacci(0)被执行的次数,结果惊人的发现:
在求第20个斐波那契数的过程中,我们仅仅对Fibonacci(0)就执行了4181次,更不用说还有Fibonacci(1)、Fibonacci(2)、Fibonacci(3)等等,而且这只是求第20个斐波那契数的过程就这样“艰难”了,更不用说求第50个斐波那契数的过程了。所以,用递归法计算第50个斐波那契数时出现迟迟没有结果的现象也是有原因的,因为计算机确实在努力计算了,只是做了太多重复计算。

而迭代法就不一样了,无论你求第几个斐波那契数,该函数只会调用一次,最主要的是:迭代法不会对同一个斐波那契数进行重复计算。

总结:

1.递归法虽然写法简单,但求解斐波那契数时会对同一斐波那契数进行多次计算,做了太多“无用功”。
2.迭代法虽然代码量相比递归法要多,但它对同一斐波那契数只会计算一次,避免了做“无用功”。

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