武忠祥老师每日一题||定积分基础训练（六）

$${\int }_0^{\pi }\sqrt{1-\sin x}\mathrm{d}x$$

这个题关键在于如何处理根号。若根号内能写成完全平方的形式，是再好不过了。

$$1-\sin x$$
$$={\sin }^2\frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}-2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$$
$$=(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}{)}^2$$

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则原式
$$={\int }_0^{\pi }|\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}|\mathrm{d}x$$
$$={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})\mathrm{d}x+{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2})\mathrm{d}x$$

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$$(2\sin \frac{x}{2}{)}^{{}^{\prime }}=\cos \frac{x}{2},(-2\cos \frac{x}{2}{)}^{{}^{\prime }}=\sin \frac{x}{2}$$

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原式
$$=(2\sin \frac{x}{2}+2\cos \frac{x}{2}){|}_0^{\frac{\pi }{2}}+(-2\cos \frac{x}{2}-2\sin \frac{x}{2}){|}_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }$$
$$=2\sqrt{2}-2-[(0+2)-2\sqrt{2}]$$
$$=4(\sqrt{2}-1)$$