计算机图形学曲线生成原理,计算机图形学_曲线及生成.ppt

计算机图形学_曲线及生成

华中理工大学计算机学院 陆枫 99-7 1999年7月 7.2.1 曲线的表示要求 1)唯一性 2)几何不变性 3)易于定界 4)统一性 5)易于实现光滑连接 6)几何直观 7.2.2 基本定义 7.2.2 基本定义 二、Bezier曲线的性质 7.2.3 B样条曲线的定义 (2)三次(四阶)B样条曲线 由于n=3，所以l＝0，1，2，3 ，此时所对应的基底函数分别为： * Chap 7 曲线的生成 7.1. 规则曲线的生成 所谓规则曲线就是一条可以用标准代数方程来描述的曲线。 例如，在平面直角坐标系内，如果一条曲线上的点都能满足符合某种条件，而满足该条件的点又均位于这条曲线上，那么我们就可以把这种对应关系写成一个确定的函数式： y = f (x) 这个函数式就称为曲线的方程；同样，该曲线即为这个方程的曲线。 7.1.1 规则曲线绘制的基本原理 对曲线进行离散化处理，把它们分割成很多短的直线段，用这些短的直线段组成的折线来逼近曲线。 至于这些短的直线段取多长，则取决于图形输出设备的精度和我们绘制的曲线所要求的精度，但我们所要求达到的精度不能逾越图形设备实际所具有的精度。 7.1.2 规则曲线绘制的基本方法 (1)函数 y = f (x) 曲线的生成 (2)参数方程曲线的生成 绘制曲线 y = f (x) 时，应给出自变量x的取值范围 x1和 x2 ，并选取适当的 x 增量Δx ，计算出曲线上一系列相应的点的坐标，依次用直线连接即可画出曲线。 绘制用参数方程表示曲线在研究曲线性质和用计算机绘制曲线时是很方便的。参数方程取如下形式： x = f 1( t ) y = f 2( t ) 极坐标方程形式是 r = P (θ) ，式中r为向径，θ为极角。因绘图时使用的是直角坐标系，因此在绘制极坐标方程曲线时，需先将点的极坐标(r ,θ)转换成直角坐标(x , y) ，然后才能画出这个点曲线。坐标转换公式为： (3)极坐标方程曲线的生成 参数在一定取值范围内变动即可算出曲线上一系列点的纵横坐标，从而画出曲线。 x = r cosθ y = r sinθ 7.2 自由曲线的生成 广义地讲，自由曲线是一条无法用标准代数方程类描述的曲线。 插值：给定一组有序的数据点Pi，i＝0，1，…，n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，搜构成的曲线称为插值曲线。 逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。 光顺：指曲线的拐点不能太多，光顺的条件是： (1)具有二阶几何连续；(2)不存在多余的拐点和奇异点；(3)曲率变化较小。 拟合：指用插值或逼近方法使生成的曲线、曲面达到某些设计要求。 型值点： 是指通过测量或者计算得到的曲线上少量描述曲线几何形状的数据点。通常是求得一些型值点后，采用一定的数学方法，建立曲线的数学模型，从而根据数学模型去获得曲线上每一点的几何信息。 控制点： 是指用来控制或调整曲线形状的特殊点，曲线段本身不通过该控制点。 1.参数连续性 C0连续：曲线相连。 C1连续：指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶导数 C2连续：指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶导数和二阶导数 2.几何连续性 G0连续：两个曲线段在公共点处具有相同的坐标值。 G1连续：指两个曲线段公共点处的一阶导数成比例。 G2连续：指两个曲线段公共点处的一阶导数和二阶导数均成比例。 一、定义及其数学表示式 1、定义 给定空间n+1个点的位置矢量Pi(i=0，1，2，…，n)，则Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是： 7.2.2 Bezier 曲线 其中，Pi构成该Bezier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函数： 2、一次Bezier曲线 n=1,有两个控制点，则： 说明：一次Bezier曲线是连接起点P0和终点P1的直线段。 矩阵表示为： 3、二次Bezier曲线： n=2，有三个控制点，则： 说明：二次Bezier曲线为抛物线。 4、三次Bezier曲线： n=3，三次多项式，有四个控制点，则： 其中 称为三次Bezier曲线的调和函数。这四条曲线均是三次曲线，形成Bezier曲线的一组基。任何三次Bezier曲线都是这四条曲线的线性组合。 1、端点及端点切线 t=0： t=1： Bezier曲线通过特征多边形的起点和终点。 在起始点，t=0，B0,n-1(0)=1,其余项均为0，故有： 在终止点，t