多项式辗转相除法求最大公约数_用辗转相除法求最大公约数

辗除法(

zhǎnchúfǎ

)

——

辗转相除法，又名欧几里德算法(

Euclidean algorithm

)乃求两

个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法，其可追溯至

3000

年前。它首次出

现于欧几里德的《几何原本》(第

VII

卷，命题

i

和

ii

)中，而在中国则可以追溯至东汉出

现的《九章算术》。它并不需要把二数作质因子分解。

证明：

设两数为

a

、

b(b

，

求它们最大公约数

(a

、

b)

的步骤如下：

用

b

除

a

，

得

a=bq......r 1(0≤r)

。

若

r1=0

，

则

(a

，

b)=b

；

若

r1≠0

，

则再用

r1

除

b

，

得

b=r1q......r2 (0≤r2).

若

r2=0

，

则

(a

，

b)=r1

，

若

r2≠0

，则继续用

r2

除

r1,……

如此下去，直到能整除为止。其最后一个非零余数即为

(a

，

b)

。

[

编辑

]

算法

辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数

a

和

b

的最大公因子的：

1.

若

r

是

a ÷

b

的余数

,

则

gcd(a,b) = gcd(b,r)

2. a

和其倍数之最大公因子为

a

。

另一种写法是：

1. a ÷

b

，令

r

为所得余数(

0≤r

)

若

r = 0

，算法结束；

b

即为答案。

2.

互换：置

a←b

，

b←r

，并返回第一步。

[

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]

虚拟码

这个算法可以用递归写成如下

:

functiongcd(a, b) {

if b<>0

returngcd(b, a mod b);

else

return a;

}

或纯使用循环

:

functiongcd(a, b) {

define r as integer;

while b ≠ 0 {

r := a mod b;

a := b;

b := r;