稳定判据_李雅普诺夫稳定性与经典稳定性

李雅普洛夫在1892年发表了《运动稳定性的一般问题》论文，他把分析常微分方程组稳定性的方法归纳为两种：

1. 求出常微分方程的解，分析系统的稳定性->间接方法
2. 不需要求解常微分方程的解，而能提供稳定性的信息->直接方法

古典控制理论的局限性

　　劳斯判据、Nyquist判据、Bode图频域分析，都是判断特征根在复平面上的分布，不解出特征方程的特征根，这种方法仅适用与线性定常系统，不适用于时变系统和非线性系统。

李雅普诺夫方法的特点

不仅描述外部（输出）稳定性或BIBO稳定，也描述内部（状态）稳定性。它通过构造一个李雅普诺夫函数，根据这个函数的性质来判别系统的稳定性，不但能用来分析线性定常系统的稳定性，而且也能用来判别非线性系统和时变系统的稳定性。

第一法　

基本思路是先求解系统的线性化微分方程，然后根据解的性质来判定系统的稳定性。称为间接法。

第二法

基本思路是不需要求解系统的微分方程式（或状态方程式）就可以对系统的稳定性进行分析和判断，称为直接法。

李雅普诺夫稳定性：系统的李雅普诺夫稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动时，经过“足够长”的时间以后，系统恢复到平衡状态的能力。因此，系统的稳定性是相对系统的平衡状态而言的。自治系统的静止状态就是系统的平衡状态。

内部稳定性和外部稳定性的关系

1. 若系统内部稳定则一定外部稳定。
2. 外部稳定不能保证系统必为内部稳定即渐近稳定。
3. 在系统结构分解中指出，传递函数矩阵只能反映系统结构中能控能观测部分。因此，系统为BIBO稳定即极点均具有负实部的事实，只能保证系统的能控能观测部分特征值均具有负实部，不能保证系统的能控不能观测、不能控能观测和不能控不能观测各部分特征值均具有负实部。由此，系统为BIBO稳定不能保证系统为内部稳定。系统外部稳定和系统内部稳定等价的充分必要条件是系统的状态完全能控和完全能观测。

单数入单输出情况下外稳和内稳的关系

传递函数如下：

根据状态空间表达式与传递函数的关系可知：

如果不存在公因子相消，传递函数的极点与系统特征值相同。极点→ 外部稳定性；特征值→ 状态转移矩阵→ 状态轨迹→ 内部稳定性；

若系统存在公因子相消-零极点对消，传递函数的极点数少于系统特征值，由于可能消去的是正实部的极点，则系统具有外部稳定性，但不一定具有内部稳定性。G(s)的极点只是矩阵A的特征值的子集。

结论： 只用传递函数的极点判断系统的稳定性不一定真正反映系统的稳定性。此时，系统内部可能有一些状态越界，导致系统饱和或出现危险。

平衡状态：

设系统状态方程为

，若对所有t ，状态满足

，则称该状态为平衡状态，记为

。故有下式成立

线性定常系统的平衡状态（系统状态各分量维持平衡，不再随时间变化，即状态的导数为0）

状态方程：

平衡状态 应满足代数方程

。根据线性代数知识，解此方程，当

A是非奇异时，则系统存在惟一的一个平衡点

。当

A是奇异时，则系统的平衡点可能不止一个。

非线性系统的平衡状态

方程的解可能有多个，视系统方程而定。如

其平衡状态应满足式

，即

李雅普诺夫意义下的稳定

李雅普诺夫意义下的稳定性

渐进稳定

、

无论是李雅普诺夫意义下的稳定、渐进稳定，都属于系统在平衡状态附近一小范围内的局部性质。因为系统只要在包围 xe 的小范围内，能找到δ和ε满足定义中条件即可。至于从s(δ)外的状态出发的运动，却完全可以超出s(ε)。因此，上面涉及的是小范围稳定或小范围渐近稳定。

无论是李雅普诺夫意义下的稳定、渐进稳定，都属于系统在平衡状态附近一小范围内的局部性质。因为系统只要在包围 xe 的小范围内，能找到δ和ε满足定义中条件即可。至于从s(δ)外的状态出发的运动，却完全可以超出s(ε)。因此，上面涉及的是小范围稳定或小范围渐近稳定。

大范围渐近稳定（如果系统在任意初态下的每一个解，当

时，都收敛于

，那么系统的平衡状态叫做大范围渐近稳定的。 ）

实质上，大范围渐近稳定是把状态解的运动范围和初始状态的取值范围扩展到了整个状态空间。对于状态空间中的所有各点，如果由这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则该平衡状态称为大范围渐近稳定的。一般来说，渐近稳定是个局部的性质。在控制工程中，通常总是希望系统具有大范围稳定的特性。

大范围渐近稳定的必要条件是：状态空间中系统中只有一个平衡状态。（经典控制理论当中，只有渐近稳定才是稳定）线性系统稳定性与初始条件无关。

不稳定性

对于某个给定的球域 ，无论球域 取得多么小，内部总存在着一个初始状态x0，使得从这一状态出发的轨迹最终会超出球域 。

各种关系

李亚普诺夫函数

李氏第二法是从能量观点出发得来的，如果系统的总能量（含动能和势能）随时间增长而连续地衰减，直到平衡状态为止，那么振动系统是稳定的。

如果系统有一个渐近稳定的平衡状态，那么当它运动到平衡状态的邻域内时，系统积蓄的能量随时间的增长而衰减，直到平衡状态处达到最小值。李雅普诺夫引出了一个虚构的广义能量函数，这个函数具有能量的含义，但比能量更为一般，它有如下一些基本特征：

① 能量函数一定是状态变量x的函数。因为状态变量x可以对系统的动态行为进行完全描述，因此能量函数也一定是状态变量x的函数。

②V（x） 是正定的

③ V（x）具有连续的一阶偏导数。

对于一个给定的系统，如果能找到一个正定的标量函数v(x)，直接利用及的v(x)及其导数数的符号特征判别出平衡状态处的稳定性，则这标量函数V（x）就称为李雅普诺夫函数。