数论-约数

1约数

定义：若整数n除以整数d的余数为0，即d能整除n，则称d是n的约数，n是d的倍数，记作。

1.2算数基本定理的推导

在算法基本定理中,其中都是正整数，都是质数，且满足,则N的正约数集合可以表示为：

N的正约数个数为

N的所有正约数的和

1.3求N的正约数集合-试除法

若d>是一个约数那么n/d<也是一个约数。每个约数都是关于对称的。还有完全平方数。因此只要扫描1~的所有数将d和n/d作为约数加入到集合中就可以。

1.4求1~n每个数的正约数集合-倍数法

以d为正约数的数有从1到n扫描每个数，将每个数的倍数的正约数集合都加入d。

1.5反素数

对于任何正整数x，其约数的个数记作g(x)，对于任意的0 性质1：其中1~ n中最大的反素数就是，1~n是约数最多的数中最小的一个。
性质2：不同质因数最多的数是10个因为,且所有质因数的指数总和不超过30,因为
性质3：将x分解成后,每个数的指数是单调递减，因为可以将这个质数指数与一个较小的质数的指数交换，交换完毕后，数变小，但是正约数个数不变。
有了这三个性质对每个质数的指数进行dfs搜索就可以了。
余数之和

#include
using namespace std;
bool st[100];
int primes[100],cnt = 1;
int c[100];//储存每个质因子的个数
long long n,ans,k = 0;
void get_primes(int n){
    for(int i = 2;i < n;i++){
        if(!st[i]) primes[cnt++] = i;
        for(int j = 1;primes[j]*i < n;j++){
            st[i*primes[j]] = true;
            if(i%primes[j]==0) break;
        }
    }
}

void dfs(long long sum,long long count,int last){
    if(sum>n) return;
    if(count>k||(count==k&&sumc[i]&&primes[i]*sum<=n){
            c[i]++;
            dfs(sum*primes[i],(count/c[i])*(c[i]+1),i);
            c[i]--;
        }
    }
}

int main(){
    get_primes(100);
    c[0] = 0xfffffff;
    cin>>n;
    dfs(1,1,1);
    cout<

1.6余数之和

给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值。

例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7。


这个式子中k/i向下取整最多能取，如果我们能确定每个数的范围，那么的时间就可以求出答案。
问题可以变为给出求出满足f(x)不变时，x的取值范围。我们设x是f(x)的左边界，那么右边界是多少呢？
令,
g(x)就是f(x)的右边界。可以理解为，我们先将k分为f(x)+1段，前x段每段长x,最后一段长度不固定,所有长度相加为k。我们要求最大的x。另每一段长度最大就是最后一段长度最小。其他位置均分k，分为f(x)段，并且我们要求的是取整数，所以x/f(x)需要向下取整。

#include
#include
using namespace std;
int main(){
    long long n,k;
    cin>>n>>k;
    long long ans = n*k;
    for(long long x = 1,gx = 0;x <= n;x = gx+1){
        if(k/x==0) break;
        gx = min(k/(k/x),n);
        ans -= (k/x)*(gx + x)*(gx - x + 1)/2;
    }
    cout<

2最大公约数

自然数d同时是a,b的约数，称d是公约数，d是所有公约数中最大的数d就是最大公约数，记作。
自然数m同时是a，b的倍数，称m是公倍数。m是所以公倍数中最小的数，那么m就是最小公倍数记作。
定理：都有
证明：
更相减损术：
有

证明：d是a，b的任意约数，那么所以所以这三个集合的公约数集合相等。
欧几里得算法：
,
证明：若a 若a>=b,令其中显然r是的约数。对于a，b任意公约数d。所以因此d也是r的约数。

3互质与欧拉函数

定义：若则称a，b互质。gcd(a,b,c)称为a，b，c互质，而称为两两互质。例如2,3,4互质但是不是两两互质。
欧拉函数
1~N中与N互质的数的个数被称为欧拉函数，记为。
欧拉函数的计算方法是对N分解

对N个数，排除以p为质因子的数，得到的就是欧拉函数。

3.1欧拉函数的性质

性质1：，1~n中与n互质的数的和为
性质2：若a,b互质，则
证明性质1：gcd(n,x) = gcd(n,n-x),所以与n互质的数是成对出现的分别为x和n-x平均值是一共有个。
证明性质2：根据求欧拉函数的公式，直接带入等式。等式左右两边相等。
下面这个定义是积性函数的定义。
定义：如果当a，b互质时，有f(ab) = f(a)*f(b),那么称函数f为积性函数。
性质3欧拉函数满足，积性函数也满足。
性质3：若f是积性函数，且在算数基本定理中，则
性质4：设p为质数，若且则
性质5：设p为质数，若但则
性质6：
证明：首先看性质3直接代入求欧拉函数的公式即可，等式两边相等。
性质4，n/p包含质数p，n与n/p的质因数集合相同。求欧拉函数的公式中，只有N不同。从而可以推出关系。
性质5，n/p不包含质数p，n包含质数p。求欧拉函数的公式中，N不同，并且n/p比n少乘了一个
性质6：首先证明是积性函数。令f代表这个公式。

n与m互质，证明了f是积性函数。对于单个因此来说，
因此对于整个n分解为几个然后使用积性函数性质求出f(n)。

3.3利用埃筛计算欧拉函数的公式

埃筛会将每个合数被他不同的质因数筛一次。例如12被2和3筛。而欧拉函数需要被每个不同质因数p，乘一次。修改代码的筛法，从标记合数，变为对欧拉函数执行乘法。

3.4利用线筛计算欧拉函数

线筛每个数只会被他的最小质因数筛一次。一个合数n的最小质因数是p，那么n/p的最小质因数可能是p可能是大于p的一种情况。线筛计算欧拉函数就是利用这两种情况性质4和5每次递推。所以线筛求欧拉函数，是线性时间的。