# L1正则化为什么比L2更容易获得稀疏矩阵

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假设费用函数 L 与某个参数 x 的关系如图所示：

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则最优的 x 在绿点处，x 非零。
现在施加 L2 regularization，新的费用函数（）如图中蓝线所示：

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最优的 x 在黄点处，x 的绝对值减小了，但依然非零。
而如果施加 L1 regularization，则新的费用函数（）如图中粉线所示：

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• 最优的 x 就变成了 0。这里利用的就是绝对值函数的尖峰。
• 两种 regularization 能不能把最优的 x 变成 0，取决于原先的费用函数在 0 点处的导数。
• 如果本来导数不为 0，那么施加 L2 regularization 后导数依然不为 0，最优的 x 也不会变成 0。
• 而施加 L1 regularization 时，只要 regularization 项的系数 C 大于原先费用函数在 0 点处的导数的绝对值，x = 0 就会变成一个极小值点。
• 上面只分析了一个参数 x。事实上 L1 regularization 会使得许多参数的最优值变成 0，这样模型就稀疏了。