认识NR(零)：MIMO-OFDM中的信道关系

认识NR(零)：MIMO-OFDM中的信道关系

来源是https://www.zhihu.com/question/315208907/answer/2626011131，但我认为两个高赞回答都有不同程度的错误，这里做了修改，目前自我思考下来是自洽的，这篇文章看起来很短，但是写了整整半周！

常见的信道模型，会出现在六个域，这六个域根据对应关系可以分为

时延域和频域

多普勒域和时域

角度域和空域

对于这六个域，信号变换有如下图的规律

前者做DFT为后者，后者做IDFT为前者

下面详述一下这三个域对于信道的影响

作者：CoucheTard
链接：https://www.zhihu.com/question/315208907/answer/618703947
来源：知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

这里修改了其中的一些说法，和原作者表述不同，请注意

从以下三个方面描述多径衰落信道的行为

1. 多径在时延域上的散布。物理意义：信号经过多条路径，经过不同的时延到达接收端。

多径功率在不同时延上的分布，统计上描述为Power Delay Profile。信道的时域响应channel impulse response和频域响应channel frequency response数学上等价，后者是前者的傅里叶变换。多径的不同时延带来相位差，合并之后造成接收信号在一些频率上强、在另一些频率上弱，即频率选择性衰落。

补充说明：这是使用的最多的一组域变换，由于时延的采样是等间隔的，那么想得到一个确定频率下的信道响应，就是这个信道在该频率下和每个时延采样计算相位后相加，这刚好是DFT的形式，由此就把在时延域上的信道映射到了频域上。为了证明这个物理图景的正确性，这里引用Yu et al_2016_Alternating Minimization Algorithms for Hybrid Precoding in Millimeter Wave这篇文章中描述的OFDM每一个子载波的信道，来验证我的观点，可以看到最后一项和前面的sum组成了一个DFT的形式

由于OFDM的原因，这个变化的使用频率很高，经过OFDM的信号可以和时延域直接卷积，而在进行信道估计均衡等操作时，又可以利用这个性质直接把卷积转化为乘法，简化运算！

2. 多径在角度域上的散布。物理意义：信号经过多条路径，以不同角度离开发射端（DOD）、以不同角度到达接收端（DOA）。

多径功率在不同角度上的分布，统计上描述为Power Angular Spectrum。信道的角度域响应和空域响应等价，前者是后者的傅里叶变换这是错误的，具体是什么关系见下（准确地讲应该是空频域vs.空域）。多径的角度不同带来信号在天线间的相位差，合并之后造成接收信号在一些天线上强、在另一些天线上弱，即空间选择性衰落。

补充说明：以下讲述参考这可以详见https://zhuanlan.zhihu.com/p/369340833或者Tse的Fundamentals of wireless communication。信道在空域和角度域的关系是空域做IDFT为角度域，==这样的原理是ULA天线的响应可以组成一个等相位间隔的天线标签，把他作为正交基地和空域信号做内积就可以得到空域信号在角度域的映射，转化为角度域信号，这个过程刚好是一个IDFT，以上这个过程可以确定一个空域的预编码矩阵在角度域的方向，也就是波束赋形的指向方向。==如果把本身在空间频率域的信号转化到角度频率域，那么信道变化为

这个信道的物理意义是其中Xaj的意义是发送端从θj角度发射出去的信号，Yai的意义是接收端从θi角度接收到的信号，那么很自然的，Haij的物理意义就是一个从θj角发出然后在θi角被接收的信号所经历路径的路径增益（Path Gain）。

这里我们再做一点延展，也就是说空域发射信号xa表示了我发射指向性，空域信道Ha则表示了那些方向上响应比较大，最后得到ya则表示了接收到的信号哪些方向上的接受的比较好

3. 多径在多普勒域上的散布。物理意义：接收机在信号经过的各条路径上，相对发射机具有不同的径向速度，从而具有不同的多普勒频偏。

多径功率在不同多普勒频偏上的分布，统计上描述为Doppler Spectrum。信道的多普勒谱和信道时域相关函数（关于Δt的函数）等价，前者是后者的傅里叶变换。多径的多普勒频偏不同带来不同时间上的相位差，合并之后造成接收信号在一段时间上强、在另一段时间上弱，即时间选择性衰落。

补充说明：Doppler Spectrum是一个功率密度谱PSD，在传统Jakes信道中，它是用于描述符合瑞利衰落的信道的特性的，它本身就是时域的能量信号做DFT得到的，而作DFT的目的是为了更好的描述能量信号，因此当我们有Doppler Spectrum而想得到时域信道时，应该根据PSD生成信号然后进行IDFT得到最终的信号。而在3D模型中，多普勒信息直接在时域进行处理，直接计算其在时域造成的相位偏差，因此其用处已经很少了

4. 信道的生成原理：本身我们已知信道的PAS，PSD以及PDP，也就是图片最右边的黄色，绿色信息，TR38.901提供的模型是一个时间时延空间域的模型，也就是紫色信息，当我们在OFDM中使用它时，可以把他转化为最右边的时频空域蓝色信息，也可以直接用紫色信息做卷积。当我们想观察波束赋形的效果，又要把他放回空域也就是红色信息进行研究