STL：A Seasonal-Trend Decomposition procedure Based on Loess

1. STL要处理的问题：如何将复杂时间序列的周期和趋势分解出来？

   
   
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2. STL的算法：
   框架：给定一个周期内包含的点数，首先将周期回归出来，然后再将原始序列和周期分量做一次减法，得到去周期的分量（包含余项噪声），最后对该分量利用平滑进行去噪，得到趋势分量。余项分量则是用原始序列-周期分量-趋势分量。
   学术版本：在实际设计算法的时候，为了追求精准、鲁棒，设计了多次循环的算法来计算得到更准确的周期分量、趋势分量、余项分量。

2.1 LOESS回归：
STL主要依赖LOESS方法来做回归，本小节首先介绍一下该非参数回归方法。
LOESS为局部加权非参数回归，做数学和算法相关工作的同学都知道“局部”的意思，它就是当你想回归一个点时，在该点的周围画一个圆，将邻居样本圈进来，之后利用邻居样本的加权求和得到目标点的回归值。更重要的是，回归每一个目标点的时候，对邻居样本的权重都不相同，这个就是局部的意思，每个点都不一样。那么非参数呢？它指的是没有假设数据样本应该服从什么样的关系，例如一般我们做回归会假设y=3x^{2这样的因变量-自变量关系，但是在非参数回归中，是没有这个的，它“局部”的回归得到目标点的回归值，不存在一个参数（如y=3x}2中的3）应用全部的情况。
具体的，LOESS是怎么做的呢？首先假设有一个序列x1，x2，...xn，回归一个值x6时，
（1）以x6为中心确定一个区间，宽度q可灵活掌握；
（2）定义区间内邻居的权重，权重由权数函数确定；

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（3）区间内的散点拟合直线或曲线，具体取决于参数d（d=1意味着直线，d=2意味着二阶）
（4）拟合之后得到目标点的值。
对序列中的每一个点都做这样的拟合，拟合后的数据就是loess回归的结果。

2.2 STL分解：
（1）首先展示STL的算法：

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（2）然后解释其中的变量值：

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整体上以上这些参数设置的时候，要理解STL能做周期和趋势分解的一个本质逻辑：之所以能做周期拟合，是因为其中做了子序列平滑，就是说把周期中每一个位置的点拿出来，因为是规律性的，所以原则上每一个子序列都应该是越平滑越好，那怎么才能尽可能得到一个平滑的回归线呢？那就是窗口取大一点，这样受局部影响才小。而做趋势拟合的时候就不一样了，窗口取太大会导致趋势被抑制，取太小会将周期和余项的分量回归进来，所以要取得“合适”，也参考以上的公式。至于除了这两个主要步骤之外，为什么做那么多次loess回归，也就是通过多次平滑、回归，能越来越精确的将趋势分量和周期分量区分开，而不至于混淆。

原文请参考论文：A Seasonal-Trend Decomposition procedure Based on Loess