目标优化注记

目标优化主要考虑以下几点：

• 参数空间
• 等式(刚性)约束
• 不等式约束
• 优化目标

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基本处理原则有：

• 参数空间中的等式约束等价于取子空间
  • 等式约束下的可能解一般对应超曲面
  • 有时超曲面可二次参数化，甚至蕴含周期边界或模空间约化
  • 超曲面的内蕴拓扑是很重要的信息，局部曲率对应Jacobian矩阵的正定性质(指标)
• 不等式对应边界截断
• 不连续点往往由于坐标不是最优
• 量化优化目标一般是找到合理的参数化距离用来衡量目标。例如通常有能量泛函。

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对于带两类约束的泛函最优化问题，一般考虑KKT条件处理。

上式中，表示优化目标，为总的泛函，表示第个等式约束条件，表示第个不等式条件。等式条件在泛函极值时自然取极值（考虑连续性条件，可以考虑平方），不等式条件在泛函求极值时需要确保当处于可行解域的时候化为一个常数函数（或者简单置为0），而在不可行区域设定为梯度较大，这样很容易在梯度法作用下从不可行区域过渡到可行区域。