算法练习题12---蓝桥杯2017省赛“k倍区间”

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# 前言

蓝桥杯2017省赛，编程题（C++）

一、题目描述

给定一个长度为 N的数列，A1, A2, ⋯AN，如果其中一段连续的子序列 Ai,Ai+1,⋯Aj (i≤j ) 之和是 K 的倍数，我们就称这个区间 [ i , j ] 是 K 倍区间。

你能求出数列中总共有多少个 K 倍区间吗？

输入：

第一行包含两个整数 N 和 K( 1≤N,K≤10的五次方 )

以下 N 行每行包含一个整数Ai ( 1≤Ai≤10的五次方)

输出描述

输出一个整数，代表 K 倍区间的数目。

示例输入：

5 2
1
2
3
4
5

示例输出：

6

运行限制

• 最大运行时间：2s
• 最大运行内存: 256M

二、思路

如果采用纯暴力搜索，需要三个for循环，必定会超时，那么可以考虑通过以下几步来进行优化，以减小时间复杂度。

• 首先，可以采用前缀和的思想，在输入Ai的过程中，就将前缀和求出，然后后续需要判断区间时，比如[i,j] 之间是否是k的倍数，我们就可以直接用A[j]-A[i-1]来求出i~j之间的累加和，单步操作的时间复杂度为O(1)，相比于之前每次求和都需要的O(n)，明显快出很多。

• 比较坑的一点，前缀和的数组一定要采用long long或更大的数据类型，int型是无法通过的

• 有了前缀和的优化，时间还是会超时，这个时候就要从整除即模K这个点去设法优化。按照题目的意思，对于（A[j]-A[i-1]）%K == 0即为符合要求，这一步可以再分解为A[j] %K==A[i-1] %K，这样写出来，我们题目的条件也就变成了先要寻找有多少个在模K结果相同下的数据，然后再求出同样模K结果下这些数据的组合方式。

• 比如我们有5组相同的模K数据，那么对应的可能取值就为4+3+2+1+0，这里简单画一个图，就很容易理解

  

• 最后一个要注意的就是，模K等于0的情况，这个模K等于0，说明正好能整除K，那么是可以独立成组的，所以最后答案需要加上模K为0的个数

三、具体代码

#include
using namespace std;
int main()
{
    int n,k;
    cin>>n>>k;
    long long a[100030]={0};
    long long b[100030]={0};
    long long c[100030]={0};  //c中存放在该一余数下，共有多少个相同值
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        a[i]+=a[i-1];
        b[i]=a[i]%k;  //存放累加和后对k取余的结果
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans+=c[b[i]];  //这里实现了0+1+2+3+...这样的过程
        c[b[i]]++;    //统计同一余数下的个数
    }
    ans+=c[0];  //看看余数为0的个数，这些是可以独立成为一种情况
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}