Python蓝桥杯训练：基本数据结构 [数组]——二分法
Python蓝桥杯训练：基本数据结构 [数组]——二分法
文章目录
- Python蓝桥杯训练：基本数据结构 [数组]——二分法
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- 一、数组理论基础知识
- 二、有关数组的一些常见操作
- 三、力扣上面一些关于数组的题目练习
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- 1、二分查找
本次博客我是通过Notion软件写的，第一次尝试，转md文件可能不太美观，大家可以去我的原笔记中查看：Python蓝桥杯训练：基本数据结构 [数组]，持续更新中，另外这是我创建的编程学习小组频道，想一起学习的朋友可以一起！！！
一、数组理论基础知识
Python 数组是一种线性数据结构，它是一组相同类型的元素的集合。数组元素可以通过编号来访问，这个编号就是元素的下标。
数组有两种实现方式：顺序存储和链式存储。
- 顺序存储：将数组元素连续存储在内存中，每个元素占据一定的内存空间。顺序存储的数组可以使用下标随机访问，时间复杂度为 O(1)。
- 链式存储：将数组元素存储在内存中的不同位置，用指针来连接各个元素。链式存储的数组不能使用下标随机访问，时间复杂度为 O(n)。
Python 中有两种主要的数组类型: 列表(list) 和 numpy 数组(numpy.ndarray)。
- 列表是 Python 内置的数据类型，可以存储任意数据类型，支持动态增长和缩短。列表的元素可以通过下标访问。
- numpy 数组是 numpy 库中的数组类型，主要用于数学和科学计算。numpy 数组只能存储一种数据类型，支持向量化操作和矩阵操作。numpy 数组元素可以通过下标访问。
二、有关数组的一些常见操作
-
创建数组
- 使用**
列表推导式 (list comprehension)** 创建数组：
>>> numbers = [i for i in range(10)] >>> print(numbers) [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]- 使用
range()函数创建数组
>>> numbers = list(range(10)) >>> print(numbers) [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]- 使用**
*重复操作符号**创建数组
>>> numbers = [0] * 10 >>> print(numbers) [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]- 使用**
关键字**创建数组
>>> numbers = [0 for _ in range(10)] >>> print(numbers) [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]- 使用 **
numpy 中的函数**创建数组
>>> import numpy as np >>> numbers = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) >>> print(numbers) [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]- 使用 **
array 模块**创建数组
>>> from array import array >>> numbers = array("i", [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) >>> print(numbers) array('i', [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) - 使用**
-
访问数组元素
- 可以使用**
下标**访问数组中的元素
>>> numbers = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] >>> print(numbers[0]) # 访问第0个元素 0 >>> print(numbers[3]) # 访问第3个元素 3 >>> print(numbers[-1]) # 访问最后一个元素 9 >>> print(numbers[-2]) # 访问倒数第二个元素 8- 使用**
切片语法**来访问数组的一部分元素
>>> print(numbers[2:5]) # 访问第2个到第4个元素 [2, 3, 4] >>> print(numbers[:5]) # 访问前5个元素 [0, 1, 2, 3, 4] >>> print(numbers[5:]) # 访问后5个元素 [5, 6, 7, 8, 9]- 使用
enumerate函数遍历数组并获取下标和元素
>>> for index, value in enumerate(numbers): >>> print(f'Index: {index}, Value: {value}')- 使用 **
numpy中的索引**方式
import numpy as np numbers = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) print(numbers[0]) print(numbers[2:5]) - 可以使用**
-
修改数组元素
- 使用**
下标**来修改数组中的元素
>>> numbers = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] >>> numbers[0] = 10 >>> print(numbers) [10, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] >>> numbers[3] = 20 >>> print(numbers) [10, 1, 2, 20, 4, 5, 6, 7, 8, 9] >>> numbers[-1] = 30 >>> print(numbers) [10, 1, 2, 20, 4, 5, 6, 7, 8, 30]- 使用**
切片语法**来修改数组的一部分元素
>>> numbers[2:5] = [100, 101, 102] >>> print(numbers) [10, 1, 100, 101, 102, 5, 6, 7, 8, 30]- 使用 numpy修改数组
对于 numpy 中的数组, 修改元素和列表基本相同, 但是 numpy 提供了更丰富的修改操作，如维度修改,布尔修改等。
import numpy as np numbers = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) numbers[0] = 10 numbers[2:5] = [100, 101, 102]需要注意的是，对于numpy中的数组来说, 修改元素会直接修改原数组， 而对于其他数组类型（如列表）来说， 修改操作是在内存中创建了一个新的数组， 而原数组不会被修改。
- 使用**
-
数组长度
- 使用**
len()**函数可以获取数组的长度
>>> numbers = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] >>> print(len(numbers)) 10- 对于 numpy 中的数组, 使用**
shape**属性来获取数组长度
import numpy as np numbers = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) print(numbers.shape) - 使用**
-
数组排序
- 使用**
sort()**方法来对数组进行排序
>>> numbers = [3, 1, 4, 2, 5, 9, 7, 8, 6, 0] >>> numbers.sort() >>> print(numbers) [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]- 使用**
sorted()**函数来对数组进行排序，sorted()函数返回一个新的已排序的数组
>>> numbers = [3, 1, 4, 2, 5, 9, 7, 8, 6, 0] >>> new_numbers = sorted(numbers) >>> print(new_numbers) [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]- 对于 numpy 中的数组, 也可以使用 sort()函数来对数组进行排序, 也可以使用 **
np.sort()**函数
import numpy as np numbers = np.array([3, 1, 4, 2, 5, 9, 7, 8, 6, 0]) numbers.sort() print(numbers) numbers = np.array([3, 1, 4, 2, 5, 9, 7, 8, 6, 0]) new_numbers = np.sort(numbers) print(new_numbers) - 使用**
-
数组遍历
- 使用**
for循环**来遍历数组
>>> numbers = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] >>> for num in numbers: >>> print(num)- 使用**
enumerate()**函数来遍历数组，enumerate()函数返回的是元素的索引和值
>>> numbers = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] >>> for index, num in enumerate(numbers): >>> print(f'Index: {index}, Value: {num}')- 对于 numpy 中的数组, 也可以使用上述的方式来遍历数组。
import numpy as np numbers = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) for num in numbers: print(num)需要注意的是, 对于大数组来说， python中的 for循环遍历是比较耗时的, 如果需要遍历大数组， 可以使用 numpy中的迭代器
np.nditer(), 也可以使用 numpy中的向量化操作来遍历大数组。import numpy as np numbers = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) for num in np.nditer(numbers): print(num) - 使用**
-
删除数组元素
- 使用
**下标**和del关键字来删除数组中的元素
>>> numbers = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] >>> del numbers[0] >>> print(numbers) [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] >>> del numbers[3:5] >>> print(numbers) [1, 2, 3, 6, 7, 8, 9]- 对于 numpy 中的数组, 可以使用numpy中的删除函数**
np.delete()**函数来删除元素
import numpy as np numbers = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) numbers = np.delete(numbers, [0,2,4,6,8]) print(numbers) - 使用
-
数组合并
- 可以使用 **
+**方法来合并两个数组
>>> numbers1 = [0, 1, 2, 3, 4] >>> numbers2 = [5, 6, 7, 8, 9] >>> numbers3 = numbers1 + numbers2 >>> print(numbers3) [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]- 也可以使用
extend()方法来合并两个数组
>>> numbers1 = [0, 1, 2, 3, 4] >>> numbers2 = [5, 6, 7, 8, 9] >>> numbers1.extend(numbers2) >>> print(numbers1) [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]- 对于 numpy 中的数组, 可以使用
np.concatenate()函数来合并数组
import numpy as np numbers1 = np.array([0, 1, 2, 3, 4]) numbers2 = np.array([5, 6, 7, 8, 9]) numbers3 = np.concatenate((numbers1, numbers2)) print(numbers3) - 可以使用 **
-
数组切片
- 使用**
下标和切片语法**来切片数组
>>> numbers = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] >>> print(numbers[0:5]) # 输出 [0, 1, 2, 3, 4] >>> print(numbers[3:8]) # 输出 [3, 4, 5, 6, 7] >>> print(numbers[5:]) # 输出 [5, 6, 7, 8, 9] >>> print(numbers[:5]) # 输出 [0, 1, 2, 3, 4]- 对于 numpy 中的数组, 也可以使用上述的方式来切片数组
import numpy as np numbers = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]) print(numbers[0:5]) # 输出 [0 1 2 3 4] print(numbers[3:8]) # 输出 [3 4 5 6 7] - 使用**
三、力扣上面一些关于数组的题目练习
1、二分查找
- 题目一：**
二分查找**
示例1：
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4
示例2：
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1
提示：
你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
n 将在 [1, 10000]之间。
nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。
- 定义两个变量 left 和 right，分别表示查找区间的左右边界。
- 循环执行以下操作，直到 left>right:
- 计算中间索引 middle = (left + right) // 2
- 如果 nums[middle] == target, 返回 mid
- 如果 nums[middle] < target, 更新 left = mid + 1
- 如果 nums[middle] > target, 更新 right = mid - 1
- 如果最终 left>right，说明数组中没有找到目标值，返回 -1
二分查找是一种在有序数组中查找目标值的高效算法，其时间复杂度为 O(log n)。
需要注意的是，这种算法的前提是数组已经按升序排序，如果数组未排序，需要先使用 sort() 函数将其排序。
class Solution:
def search(self, nums, target):
left = 0
right = len(nums) - 1
while left <= right:
middle = left + (right - left) // 2
if nums[middle] > target:
right = middle - 1
elif nums[middle] < target:
left = middle + 1
else:
return middle
return -1
该算法的时间复杂度为 O(log n)，空间复杂度为 O(1)，需要注意的是, 上述代码假设数组已经按升序排序, 如果数组未排序, 需要先使用sort()函数将其排序。
- 数组的排序：需要确保数组已经按升序排序，如果数组未排序，需要先使用 sort() 函数将其排序。
- 二分查找的循环条件：需要注意循环条件是 left <= right，而不是 left < right。
- 特殊情况：如果查找区间中没有找到目标值，需要返回 -1。
- 代码实现：需要确保代码实现了上述算法步骤，并且能够正确处理边界情况。
在做这道题时, 要结合算法的理论知识和代码实现能力, 正确理解题意并进行编码。
B站上面卡尔老师对于这道题的思路讲得很不错，在这里推荐大家去看看他的教学视频：
https://www.bilibili.com/video/BV1fA4y1o715/?spm_id_from=333.1007.top_right_bar_window_history.content.click&vd_source=eae0406d86828f39f6ac3a3b0e8a2a34
- 题目二：
搜索插入位置
请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。
示例1：
输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2
示例2：
输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1
示例3：
输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4
提示：
1 <= nums.length <= 104
-104 <= nums[i] <= 104
nums 为 无重复元素 的 升序 排列数组
-104 <= target <= 104
首先，我们定义两个变量left和right，分别表示查找区间的左右边界。
然后，我们使用循环来缩小查找范围，每次通过计算中间索引mid来判断目标值是在左半部分还是右半部分，如果目标值等于nums[mid]，就说明找到了，直接返回索引mid。如果目标值小于nums[mid]，就将右边界更新为mid-1，否则将左边界更新为mid+1。
最后如果循环结束后还没有找到目标值，就返回left的值，因为left表示第一个大于等于目标值的位置，也就是目标值应该插入的位置。
这个题目的思路跟上一题基本一致，其中要在数组中插入目标值，无非就四种情况。
- 目标值在数组所有元素之前
- 目标值等于数组中的某一个元素
- 目标值插入数组中的位置
- 目标值在书中所有元素之后
class Solution:
def searchInsert(self, nums, target):
left, right = 0, len(nums) - 1
while left <= right:
mid = (left + right) // 2
if nums[mid] == target:
return mid
elif nums[mid] < target:
left = mid + 1
else:
right = mid - 1
return left
该算法时间复杂度为 O(log n)，空间复杂度为 O(1)
- 题目三：
在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。
你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。
示例1：
输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]
示例2：
输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]
示例3：
输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]
提示：
0 <= nums.length <= 105
-109 <= nums[i] <= 109
nums 是一个非递减数组
-109 <= target <= 109
另外题目要求寻找target在数组的左右边界，所以就会有三种情况：
- target在数组范围的左边或者右边（不在数组中），返回[-1,-1]
- target在数组范围中，但数组中不存在，返回[-1,-1]
- target在数组范围中，且数组存在，返回[1,1]
因为我是新手嘛，所以我们先写第二种方法思路：
写两个函数，一个用来寻找右边界，一个用来寻找左边界。
- 思路一：首先我们来寻找右边界，方法跟上面两题一样，定义两个变量left和right，分别表示查找区间的左右边界，因为我们要寻找左右边界，所以我们在寻找右边界时额外定义一个变量rightBoder，为要寻找的右边界，其值为-2，用于后面检查目标值是否不在列表中，然后进入一个while循环，只要**
left小于等于right就继续。在每次循环中，它使用left和right计算当前搜索范围的中间索引，并比较该索引处的值与目标值。如果中间索引处的值大于目标值，则将right指针更新为中间索引左侧的索引。如果中间索引处的值小于或等于目标值，则将left指针更新为中间索引右侧的索引，并将rightBoder更新为更新后的left指针，因为nums[middle] == target是右边界。循环结束后，函数返回rightBoder变量。如果目标值不在列表中，rightBoder将不会被更新并保持-2，然后寻找左边界跟寻找有边界思路一样。最后再来通过我们定义的用来寻找左右边界的rightBoder** 和**leftBoder** 来判断是三种情况中的哪一种，如果**leftBoder == -2 or rightBoder == -2**，那么就是没找到，如果**rightBoder -leftBoder >1**，那么就是在数组范围中，且数组存在，最后否则就是在数组的左右边界外。 - 思路二：写一个二分法，首先，我们需要先找到目标值在数组中第一次出现的位置。我们可以定义两个变量left和right，分别表示查找区间的左右边界。然后我们使用循环来缩小查找范围，每次通过计算中间索引mid来判断目标值是在左半部分还是右半部分。如果nums[mid]>=target,就将右边界更新为mid-1,否则将左边界更新为mid+1. 循环结束后如果left
# 写两个二分查找，分别查找左右边界
class Solution:
def searchRange(self, nums, target):
def getRightBorder(nums, target):
left, right = 0, len(nums)-1
rightBoder = -2 #
while left <= right:
middle = left + (right-left) // 2
if nums[middle] > target:
right = middle - 1
else: # 寻找右边界，nums[middle] == target的时候更新left
left = middle + 1
rightBoder = left
return rightBoder
def getLeftBorder(nums, target):
left, right = 0, len(nums)-1
leftBoder = -2 # 记录一下leftBorder没有被赋值的情况
while left <= right:
middle = left + (right-left) // 2
if nums[middle] >= target: # 寻找左边界，nums[middle] == target的时候更新right
right = middle - 1;
leftBoder = right;
else:
left = middle + 1
return leftBoder
leftBoder = getLeftBorder(nums, target)
rightBoder = getRightBorder(nums, target)
# 情况一
if leftBoder == -2 or rightBoder == -2: return [-1, -1]
# 情况三
if rightBoder -leftBoder >1: return [leftBoder + 1, rightBoder - 1]
# 情况二
return [-1, -1]
# 写一个二分法
class Solution:
def searchRange(self, nums, target):
start = -1
end = -1
left, right = 0, len(nums) - 1
while left <= right:
mid = (left + right) // 2
if nums[mid] >= target:
right = mid - 1
else:
left = mid + 1
if left < len(nums) and nums[left] == target:
start = left
left, right = 0, len(nums) - 1
while left <= right:
mid = (left + right) // 2
if nums[mid] > target:
right = mid - 1
else:
left = mid + 1
if right >= 0 and nums[right] == target:
end = right
return [start, end]
- 题目四：
x的平方根
由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。
注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。
示例1：
输入：x = 4
输出：2
示例2：
输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。
提示：
0 <= x <= 231 - 1
这种算法的时间复杂度为O(log n)
需要注意的是，这道题的返回值是一个整数，而不是一个小数，因此我们需要返回平方根的整数部分。
class Solution:
def mySqrt(self, x):
left, right = 0, x
while left <= right:
mid = (left + right) // 2
if mid ** 2 <= x < (mid + 1) ** 2:
return mid
elif x < mid ** 2:
right = mid - 1
else:
left = mid + 1
二分查找是一种在有序数组中查找目标元素的常用算法，力扣上有很多题目涉及到二分查找，以下是一些比较常见的：
- 第4题：寻找两个有序数组的中位数
- 第33题：搜索旋转排序数组
- 第35题：搜索插入位置
- 第37题：解数独
- 第74题：搜索二维矩阵
- 第153题：寻找旋转排序数组中的最小值
- 第162题：寻找峰值
- 第278题：第一个错误的版本
- 第287题：寻找重复数
- 第410题：分割数组的最大值
- 第704题：二分查找
这些题目都是二分查找的典型例题，可以帮助你更好的理解和掌握二分查找算法。