python二分法求方程的根_九年级 一元二次方程的根D

1.形如一元二次方程的含绝对值的方程的解法

经常在方程的局部或某一边出现绝对值

(形如ax²+b|x|+c=0),

对于这类问题应该首先考虑去掉绝对值符号.

去掉绝对值符号可以根据绝对值的定义,也可以利用换元法.

如果根据绝对值的定义,则可以分x≥0和x<0两种情况去解.解两个一元二次方程,同时要考虑根的范围.

如果利用换元法,就需要有整体分析的意识.采用这两种思路去研究,可以巩固分类讨论的数学思想、整体分析的数学意识和换元法这种重要的数学方法

例1方程x²-3|x|+2=0

的最小根的负倒数是_____________.

解:方法一：

(1)当x≥0时,则有

x²-3x+2=0

解得x₁=1,x₂=2 ①

(2)当x<0时,则有

x²+3x+2=0

解得x₃=-1,x₄=-2 ②

由①②可知,方程

x²-3|x|+2=0

的最小根为-2,那么它的负倒数为1/2

方法二：原方程可化为

|x|²-3|x|+2=0.

设y=|x|,

则y≥0.方程可化为

y²-3y+2=0.

解得y₁=1,y₂=2

即|x|=1或|x|=2

∴x₁=1,x₂=-1,x₃=2,x₄=-2

∴原方程x²-3|x|+2=0的最小根为-2,

它的负倒数为1/2

例2方程|x⁴-4x²|=4

的实数根的个数是_________.

解:(1)当x²≥4时,方程为

x⁴-4x²-4=0

解出x²=2+2√2>4.

…

(2)当x²<4时,方程为

x⁴-4x²+4=0解出

x²=2<4

…

综上可知,方程有4个实根

例3已知关于x的方程

|x²-2√3x+1|=k

有四个不同的实根,求k的变化范围.

解:首先,由题意,知k≥0.

其次,分两种情况

(1)x²-2√3x+1=k时,

△=12-4(1-k)>0

∴k>-2,从而k≥0

(2)当x²-2√3x+1=-k时,

△=12-4(1+k)>0,

∴k<2

综上,可得0≤k<2

2.带有参数的一元二次方程的解法

有些时候方程的系数带有字母,这类问题在解题过程中经常出现我们该如何解决呢?

这类问题首先要考虑二次项的系数,

如果为0就不是一元二次方程,这种情况要特殊处理;

如果不为0,则要按照一元二次方程的解法,可以配方,也可以考虑它的判别式,有时也要考虑因式分解,特别是因式分解往往能起到事半功倍的效果。

在研究问题的过程中常常用到分类讨论的数学思想.在具体的研究过程中还要用到配方这种重要的数学方法,以及灵活运用的数学意识(如采用因式分解).

例4解关于x的方程

x²-3mx+2m²-mn-n²=0

解:方法一：

△=(-3m)²-4×1×(2m²-mn-n²)

=9m²-8m²+4mn+4n²

=m²+4mn+4n²

=(m+2n)².

∴x₁=2m+n,

x₂=m-n.

方法二：方程左边常数项为

2m²-mn-n²

=(2m+n)(m-n);

根据十字相乘法方程左边可因式分解,原方程可化为

[x-(2m+n)][x-(m-n)]=0

∴x₁=2m+n,

x₂=m-n.

3.带有参数的一元二次方程的根的性质

含有参数的且研究根的性质的一元二次方程问题,一元二次方程的根可能会是实数、有理数、整数等,不同的数系,会有不同的性质,这类问题的研究是复杂的,也是具有挑战性的.

根的不同性质：何时具奇偶性,何时是素数根,何时是整数根.在这类问题的解答过程中应结合具体实际加以解答.

(1)若有理系数一元二次方程有一根

m+√n,

则必有另一根,

m-√n (m,n为有理数)

(2)一元二次方程

ax²+bx+c=0(a≠0),

在△≥0时有两个实根

求整数根一般有：

①△为完全平方式且必须

-b±√(b2-4ac)=k

(k为2a的整数倍)

②x₁+x₂=-b/a为整数,

x₁·x₂=c/a为整数,且必须代入原方程检验

③用整数的性质进行综合分析

④变换主元进行讨论这里,

我们主要对(1)进行一个简要的证明

例5设a,b是整数,方程

x²+ax+b=0有一个根是

∴(7+2a+b)-(4+a) √3=0.

∴7+2a+b=0;

4+a=0.

∴a=-4;b=1

∴a+b=-4+1=-3.

方法二：根据我们前面研究出的结论：

∵2-√3是原方程的根,

∴2+√3也是原方程的根

∴a=-(2-√3+2+√3)=-4,

b=(2-√3)(2+√3)=1

∴a+b=-3

例6如果方程

(x-1)(x²-2x+m)=0

的三根可以作为一个角形的三边之长,求实数m的取值范围

【解】显然,原方程有一根为1,

设α,β为方程x²-2x+m=0的两根.由韦达定理,得

α+β=2,αβ=m

因为三角形的三边长为1,α,β,

则|α-β|<1

故|α-β|²

=(α-β)²

=(α+β)²-4αβ

=2²-4m<1

解得m>3/4

又△=4-4m≥0,

m≤1.

综上可得3/4

例7、设方程

x²-|2x-1|-4=0，

求满足该方程的所有根之和.

思路点拨:通过讨论，脱去绝对值符号

(有时也用到绝对值性质，如x²=|x|²=|x²|。)

把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解

例8、已知三个不同的实数a，b，c满足

a-b+c=3，

方程x²+ax+1=0

和x²+bx+c=0

有一个相同的实根，

方程x²+x+a=0

和x²+cx+b=0也有一个相同的实根.

求a，b，c的值.

分析与解:这是一个一元二次方程有公共根的问题，可从求公共根入手.

例9、用[x]表示不大于x的最大整数，则方程

x²-2[x]-3=0

的解的个数为( )

解题思路：由[x]≤x得

x²-2x-3<0，

确定x的取值范围

 一元二次方程的根A

 一元二次方程的根B

 一元二次方程的根C