数学建模（二）车灯线光源的优化设计（02年国赛A题）

本文参考和学习的是当年全国一等奖作品，作者：吕骥 余白敏 肖世尧

(一)题目梳理

这道题使用大量的物理光学知识，不过需要的知识都不太难查到。

题目表述很短很直接：

问题很生活，平时没怎么注意车灯的形状实际是旋转抛物面，有意思。

1. 从题目可提取的关键信息

• 车灯的外形信息完全get，包括线光源的放置位置，物理模型非常清晰明确。
  
• 题目要求简单明了，是优化问题：求在最小化功率的目标下，线光源的最佳长度，约束条件是测试屏上B，C点的光强度。
• 题目难点明确：测试屏上反射光亮区的绘制。如果根据你的模型绘制出来的图形不符实际，直接使论文失去颜色，再无被多看一眼的可能。
• 光强度量化为光学中的发光强度

2. 容易想到的假设

• 只考虑一次反射，不考虑干涉，衍射等其他光学现象
• 不考虑测试屏的大小，假设它可呈现出车灯的完整反射亮区。

3. 尝试思考

• 由于车灯很小，开口半径才3.6cm,深度才2.16cm，而车灯焦点到测试屏的距离是25m,差几百倍，所以线光源的长度相比于车灯与测试屏的距离，非常短。因此可以尝试把线光源近似简化为无数个点光源在焦点F处的叠加，即使用微元法。

• 点光源辐射功率和测试屏上点的光强度的映射关系函数要找到

• 点光源以球面波的形式向外辐射光，所以任一点光源辐射出的光到了远处的测试屏上应该照出一片圆形亮区，而非一个点。（发光体的大小与照射距离相比比较小的场合都可以观察到这种现象，有很多相关的生活经验。比如手电筒照到远方是一个大大的圆亮区，因为相对于到远处的距离，小小的手电筒发光区可以等效为多个点光源的叠加；再比如远远地看指示灯，如电脑显示器右下角的蓝色指示灯，看到的不是点，而是圆形亮区）

• 要画亮区就要知道测试屏上每一点的光强

• 测试屏上每个点的光强是直射光和反射光的光强之和（叠加）

• 约束里的额定值的确定很重要

（二）山穷水尽已无路，柳暗花明也没村

是时候瞻仰全国一等奖的风韵了。

（1）建模前的准备

• 使用两个物理量：发光强度，发光效率。后者是把光源功率转化为辐射光能的桥梁。

• 微元法把复杂的实际生活中的线光源转化为简单的理想化的点光源模型。

• 假设一个点光源经过直射只有一条光线能到达测试屏上某个特定点，而经过反射可能有不同数量的光线到达测试屏上某个特定点。作者们使用几何和物理手段在后文仔细去分析了反射光线的条数。分析细到要数光线的条数！乍一看觉得好玄乎，后面看了他们的数学分析，不但不觉得玄乎，还觉得很科学···

• 解决了额定值的确定问题：
  
• 模型的假设是很全面的：
  

（2）几个重点结论的挖掘和发现

这三个定理对于模型建立和亮区绘制极其关键！！！

看这个题目之前相信大多数人都不太了解旋转抛物面的数学方程，更不了解它的光学性质，所以定理1较难发现，但在网上还是很容易查到它及其证明的。总之，定理1的挖掘很重要。

然后紧接着给出了一个关键的旋转抛物面的光学结论，还给出了简单易懂的证明：

旋转抛物面是由抛物线绕着对称轴（这里是y轴）旋转一周得到的二维曲面。

文中给出了选车灯的旋转抛物面的数学方程，反射面上每个点的切面方程，法线方程，证明出反射面上的所有点的法线都交于对称轴y轴上的同一点。

代入开口半径和深度：
$$x^2=2c\ast 21.6mm,x=36mm$$
解出$$c=30mm$$
而抛物线/抛物面的焦距是$\frac{c}{2}$,所以是15mm。

代入y=15mm到抛物线方程中，得到x=30mm=3cm,所以线光源的长度最大也就6cm，至此得到了线光源长度的上界，也算是有个参照和评价的标准了。（线光源放置在过焦点的平行于x轴的直线上）

（2） 物理量的函数关系

1. 光源发出的光通量$\Phi$

光通量是光源在单位时间内所辐射出的光能，,单位$lm$,流明,在理论上相当于电学中的功率

2. 光源的发光效率$\eta$
3. 点光源的光强$I$

光强（发光强度）是点光源(只针对点光源定义)在单位立体角（球面度）发出的光通量。

球面度是一个立体角，其定点位于球心，在球面上所截取的面积等于以球的半径为边长的正方形面积。

单位：cd,坎德拉，$1cd=1lm/球面度$

4. 被照面的照度$E$

• 是物体被照明的程度，是物体表面所得到的光通量与被照面积之比，即被照明面上单位面积的光通量，也即被照面每平方米的面积上，受距离1米、发光强度为1cd的光源，垂直照射（$\theta =0$）的光通量。

• 单位：$lx$，勒克斯。$1lx=1lm/m^2$，即1勒克斯的照度，是1流明的光通量照射在1平方米面积上的亮度。

• 光照度是衡量拍摄环境的一个重要指标。

5. 线光源的功率线密度$k$

单位$watt/m$

所以光通量和光强的关系是：$\Phi =4\pi I$ (整个球面在球心处的球面度是$4\pi$)

下图的第一个式子挺不容易查的，但确实需要用这个关系式。但这里作者有点没解释清楚——

点光源发出的光线朝各个方向都会辐射，所以和被照面法线的夹角$\theta$应该取$-90^0-90^0$。原论文表述（下图）的5.2.2式，被照面上的照度实际指这个面上所有点的照度，只要代入不同点的$\theta$就行（需要假设被照面所有点到点光源的距离都是r）。

这五个关键物理量的含义和相互关系梳理清楚弄明白了，后面的进一步建模才能进行。这是基础，对光学这方面不熟的还是要花点时间才能建模的。

（3）直射光到B点的照度计算（easy）

只考虑B点，因为C点计算方法完全一样。

这里的关键是假设点光源理想到照到B/C点的光线不多不少就一条！这一条光线照到B点就形成了圆形亮区，半径正是距离B和点光源D的距离r(球面波的性质)，在B点的照度就是点光源D垂直直射到屏上的$D^{\prime }$点的照度乘上$cos\theta$（周围的照度肯定更弱一些）。

这里还是假设线光源上所有点光源到B的距离都是r。

（4）反射光到B点的照度计算（difficult）

难点就在于反射光线的数量不止一条，不像直射牛逼地假设就一条光线，而且具体多少条还不是很好算。。。

但本文的作者们用几何方法还是给算出来了，并做了下列简化

最后得到了B点的总照度，而且非常容易理解（$n_i$是求出来的第i个离散小区域的点光源们的反射光线条数）：

顺理成章，优化模型自然就是：（最小化线光源功率,B，C两点还要满足照度的约束）

求解结果（以这两种灯为例）：

（5）亮区绘制

这里我只想说，牛逼他妈给牛逼开门——牛逼到家了。。。

这就是极其符合实际的拿了全国一等奖的亮区图：

真是靠n个离散点光源的n条直射光和诸多反射光在测试屏上的投影坐标处的小亮区叠加而成，这个真的服气。有时间了我要用matlab画一画再来放上我画的图，致敬此图。

---

我画的图来啦：

clear all
clc
p=0.03;x=25.0216;
for y1=-.002:0.0004:.002
    y0=(-.036:.001:.036)'*ones(1,73);
    z0=ones(73,1)*(-.036:.001:.036);
    x0=(y0.^2+z0.^2)/(2*p);
    xn=(p^3+4*x0*2*p.*x0+p*(-4*y1*y0+3*2*p*x0))./(2*(p^2+2*p*x0));
    yn=(2*p*x0.*y0+p^2*(-y1+y0)+y1*(y0.^2-z0.^2))./(p^2+2*p*x0);
    zn=(p^2+2*p*x0+2*y1*y0).*z0./(p^2+2*p*x0);
    y=y0+(yn-y0).*(x-x0)./(xn-x0);
    z=z0+(zn-z0).*(x-x0)./(xn-x0);
    plot(y,z,'b .')
    
    hold on
end

xlabel('y')
ylabel('z')
title('车灯线光源投影亮区')