比较LMS和RLS算法的性能

1、仿真模型

  水声通信模型             图源：网络

2、调制方式及信道设置

要求：调制方式QPSK、序列长度2048、训练序列长度1024、信噪比范围5-20dB，比较LMS和RLS算法的性能，均衡后的均方误差。

3、算法描述

（1）LMS算法

由于最陡下降法每次迭代都需要知道性能曲面上某点的梯度值，而实梯度值只能根据观察数据进行估计。而LMS算法实质上是用平方误差代替均方误差，即每次迭代中，其梯度具有如下形式：

  由此，可以推出权值更新公式为：

 一般来说，LMS算法简单且具有计算量小，易于实现等特点，但其收敛速度较慢： 

        1、增大步长，将会提高收敛速度，单收敛后误差较大

        2、减小步长，则正好相反

（2）RLS算法

   RLS算法是递归最小二乘算法，根据估计误差自动调节现时刻的参数，使得代价函数最小，从而实现最优滤波。RLS算法是利用已知n-1时刻滤波器抽头权系数的情况下，通过简单的更新，求出n时刻的滤波器抽头权系数，其代价函数公式为：

RLS的算法步骤为：

初始化：w(0)=0, R(0)=σI,

更新：对于n=1、2···计算估计误差：e(n)=d(n)-y(n)

更新：k(n)=P(n-1)x(n)/{λ+xH(n)P(n-1)x(n)}

更新：P(n)=1λ[P(n-1)-k(n)xH(n)P(n-1)]

更新权向量：w(n)=w(n-1)+k(n)e*(n)

滤波：y(n)=w^H(n-1)x(n)

4、实验参数说明

参数设定：

 
基带信号加噪声与过信道后的QPSK星座图如下所示：

 

 利用均衡器恢复的QPSK星座图如下所示：

 

 各均衡器的学习曲线如下所示：

 

 LMS算法的收敛速度明显较慢，约在第300次迭代时才收敛，NLMS算法收敛速度略有提升，约在第100次迭代时达到收敛，而RLS算法收敛速度较快，约在第50次迭代时就达到收敛，且算法的误差也相对较小。

两种算法性能的比较：

通过仿真结果可以看出，两种信号的均方误差都在减小，均方误差随着信噪比的升高而降低，与理论计算值相符。

与LMS算法相比，RLS算法采用时间平均，因此，所得出的最优滤波器依赖于用于计算平均值的样本数，而LMS算法是基于集平均而设计的，因此稳定环境下LMS算法在不同计算条件下的结果是一致的。在性能方面，RLS的收敛速率比LMS要快得多，因此，RLS在收敛速率方面有很大优势。

【参考资料】

1：博客：水声通信课程作业业_二 | 漫漫人生路 (codekp.cn)

2： matlab qpsk调试 rls均衡,自适应滤波_长野君的博客-CSDN博客

3：陈海兰,胡晓毅,许茹,刘慧,蔡彦.LMS算法和RLS算法在水声信道通信系统中应用的比较[J].现代电子技术,2007(03):18-19.

PS：源代码也放在下载栏